Arithmétique modulaire

[Atsunra]

Bonsoir,
Très récemment inscrit sur ce forum je souhaite vous soumettre un exercice sur lequel j'ai un blocage. Il s'agit d'un exercice dans le thème de l'arithmétique modulaire avec de la congruence.

Trouver deux entiers m, n tels que :
, ___et___
___et___

Voici ce que j'ai pour le moment pu entreprendre afin de tenter de résoudre ce dernier :

Si , alors , soit
Si , alors , avec q

• 
• 
• 

Et là c'est le drame.
Pourriez-vous me mettre sur la voie de la réussite ?

Merci d'avance,
Atsunra

[pascal16]

au tableur
pour m+n=28, aucune solution dans [[0;88]]²
pour n+m =117, 2 couples solution : (39;78) et (78;39)

[zygomatique]

salut

je ne comprends pas ton calcul ...


il te faut donc résoudre l'équation du second degré

tout comme dans R on calcule le discriminant, une racine carrée et hop ... mais on raisonne modulo 89

puisqu'on cherche deux nombres m et n de somme 28 et de produit 16

or (je le fais évidemment avec la forme canonique, tellement plus simple et élémentaire (niveau collège))



78 + 39 = 28
78 * 39 = 16



PS : j'ai évidemment pris un tableur pour diviser par deux et pour prendre une racine carrée (modulo 89)

[Atsunra]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.
Malheureusement je n'en comprends aucune d'elles...
Pourriez-vous essayer de détailler ? J'ai l'impression d'avoir loupé un chapitre.

Par ailleurs, qu'est-ce qu'un "tableur" en maths ?

[Kolis]

Bonjour !
Le discriminant réduit de l'équation est .
Il faut que tu trouves un élément tel que . Un peu de patience et la table de multiplication modulo 89 montrent que 64 et 11 conviennent.
D'où les racines de l'équation du second degré.

......

[Ben314]

Salut.

78 + 39 = 28
78 * 39 = 16

Faire gaffe quand même : autant tout le début est valable dans n'importe quel Z/nZ, autant la fin qui utilise le fait que "un produit de facteur est nul ssi l'un des facteurs est nul", c'est vrai uniquement dans les Z/nZ avec n premier (dans Z/6Z on a 2x3=0 bien que ni 2 ni 3 ne soient nuls...).
Et bien sûr, si ce dernier résultat (i.e. un produit est nul ssi...) est faux, ben ça a pas grand intérêt de mettre le bidule sous forme d'un produit de facteurs...

D'ailleurs et de façon générale, si n n'est pas premier, une équation du second degré peut parfaitement avoir plus de deux solutions dans Z/nZ : par exemple x^2+3x+2=0 admet 4 solutions 1 ; 2 ; 4 et 5 dans Z/6Z.

[zygomatique]

oui bien sur ... j'en étais conscient mais effectivement il est bon de le dire explicitement

je viens de voir avec mes spé (term S spé) le pb suivant: déterminer les entiers n tels que p divise n^2 - 3n - 10 =(n + 2)(n - 5)

évidemment avec p = 3 ou 7 il suffit que p divise n +2 ou que p divise n - 5

mais lorsque p = 6 ... évidemment (et comme d'habitude) mes élèves m'ont proposé les mêmes réponses ... en oubliant qu'il y avait aussi

2 divise n + 2 et 3 divise n - 5
ou
2 divise n - 5 et 3 divise n + 2