2 Infinis sont égaux c'est une Révolution

[WillyCagnes]

Bonjour,

Ce qui est fascinant avec les mathématiques, c'est que même les concepts les plus connus et apparemment les plus simples peuvent continuer à susciter la fascination et à créer l'événement.La démonstration que la mathématicienne américaine Maryanthe Malliaris et son homologue israélien Saharon Shelah viennent de publier, qui prouve que deux ensembles mathématiques infinis ont la même taille, était attendue depuis près de 70 ans. Pourtant, elle concerne des nombres connus de tous.

http://www.msn.com/fr-fr/actualite/inso ... li=BBoJIji

https://www.quantamagazine.org/mathemat ... -20170912/

[Ben314]

C'est quoi cette connerie (ou alors dans le premier article les mecs ils ont absolument rien compris à rien...) (*)
On sait depuis 1938 (Gödel) que HC est relativement consistante via ZFC et depuis 1963 (Cohen) que non(HC) est aussi relativement consistant via ZFC, bref que l'hypothèse du continu est indécidable dans ZFC.

Et même, j'avais lu à un moment donné un article précisant (un peu) "quoi" on pouvait intercaler entre le dénombrable et le continu : peut on supposer qu'il n'y a qu'un seul cardinal entre les deux ? qu'il y en a une infinité ? etc..

(*) J'ai pas regardé le deuxième...

P.S. Je viens de regarder la suite de 'article et effectivement, c'est du grand n'importe quoi : il affirme en milieu d'article que ce que les gus ont démontré, c'est qu'il y avait pas de cardinal entre N et R pour ensuite (et à peine 3 lignes plus loin) signaler que Cohen à montré qu'une telle preuve ne peut pas exister.

P.S.2 Et en continuant à lire, ben c'est de mieux en mieux : je cite "... que Malliaris et Shelah ont démontré que l'infini de N et celui de R étaient en fait égaux" (très précisément le contraire est écrit noir sur blanc en début d'article...)

P.S.3 Je viens de regarder l'autre article qui lui est quand même relativement cohérent (en tout cas bien plus que le premier, mais... c'est pas difficile...)
modulo une petite "perle" : The real numbers are sometimes referred to as the “continuum,” reflecting their continuous nature: There’s no space between one real number and the next.

[Monsieur23]

Effectivement, c'est n'imp' le premier article (d'un autre côté, un article de maths sur msn.com… comment dire ?)

Je ne comprends pas vraiment pourquoi ça ressort maintenant ? Ça fait quelques années que l'article p=t est sorti…

[Skullkid]

Je ne comprends pas vraiment pourquoi ça ressort maintenant ? Ça fait quelques années que l'article p=t est sorti…

Apparemment c'est parce que les auteurs ont reçu la médaille Hausdorff en juillet dernier. Et l'article msn/Slate est magique ! Vous êtes des rageux contre la liberté d'expression c'est tout

Sinon voici une arXiv de l'article pour les curieux, ça devient très vite inaccessible (ha ha) pour un novice comme moi mais on peut trouver dans les premières pages les définitions de et , et pas mal d'infos et de références sur d'autres cardinaux remarquables.

[jcd]

Quand je lis :
" on ne peut pas lister les éléments de R: il y en a "trop". C'est un ensemble continu, c'est-à-dire qu'il n'y a pas un nombre, puis le suivant: on peut toujours en trouver un qui se trouve compris entre les deux."
Entre quels deux (qui n'existent pas) ?

S'il s'agit de deux éléments quelconques, l'auteur devrait en déduire que Q est un ensemble continu, ce qui me semblait faux, même si mes études de Maths remontent à une cinquantaine d'années. Q était dénombrable.

La question qui me préoccupe est : Qu'appellent-ils "deux infinis égaux" ?

Auraient-ils établi une bijection entre R et N ? j'avoue décrocher quand il est question de p et t.

[Skullkid]

Oui cette phrase que tu cites est une des nombreuses erreurs dans l'article en français. Comme tu le dis, est dénombrable mais on peut toujours trouver un rationnel strictement compris entre deux rationnels distincts. D'ailleurs a priori ça ne veut pas dire grand-chose qu'un ensemble (sans structure dessus) est continu, c'est juste qu'historiquement "le continu" est un des noms donnés à , et donc son cardinal s'appelle "le cardinal du continu" ou "la puissance du continu".

Le fait qu'il n'existe pas de bijection entre et , autrement dit que leurs cardinaux sont différents, a été prouvé et personne ne reviendra dessus. Le résultat nouveau dont il est question c'est l'égalité entre deux autres cardinaux, et . Sauf mécompréhension de ma part, avant leur papier on savait "juste" que , et a priori rien n'interdisait d'imaginer des modèles de la théorie des ensembles dans lesquels , et d'autres modèles dans lesquels .

[jcd]

@Skullkid : merci bien ! c'est plus clair pour moi.

[Pseuda]

Merci beaucoup Skullkid pour ces explications !

Pour ma curiosité personnelle, a-t-on montré : |N| < p = t =< |R| ou bien : = |R| ou bien : < |R|? Je me doute que c'est la 1ère réponse mais quand même. Ceci veut dire qu'on ne sait toujours pas s'il y a un infini intermédiaire entre N et R ?

[Monsieur23]

Merci beaucoup Skullkid pour ces explications !

Pour ma curiosité personnelle, a-t-on montré : |N| < p = t =< |R| ou bien : = |R| ou bien : < |R|? Je me doute que c'est la 1ère réponse mais quand même. Ceci veut dire qu'on ne sait toujours pas s'il y a un infini intermédiaire entre N et R ?

On sait qu'on ne peut pas trouver d'infini intermédiaire entre R et N (et on sait aussi qu'on ne peut pas prouver qu'il n'en existe pas). C'est l'hypothèse du continu, démontrée indécidable par Gödel (le sens facile) et Cohen (le sens difficile).

[Pseuda]

Bonjour,

Ok merci. J'avais lu entre-temps le commentaire de Ben314 qui dit la même chose. Donc du point de vue du profane, on n'est pas énormément avancé de savoir que p=t. On a seulement identifié deux ensembles dont le cardinal est compris entre celui de N (strictement) et celui de R. Si les cardinaux de ces 2 ensembles avaient été différents, bingo, mais ce n'est pas le cas. Enfin je trouve tout ça contradictoire : on sait qu'on ne peut pas trouver d'infini intermédiaire, on sait qu'on se peut pas le prouver, mais si p avait été < t c'était la preuve d'un infini intermédiaire. J'ai dû louper quelque chose, ou tout cela me dépasse (une histoire de modèle des ensembles). Bref.

[Ben314]

Enfin je trouve tout ça contradictoire : on sait qu'on ne peut pas trouver d'infini intermédiaire, on sait qu'on se peut pas le prouver, mais si p avait été < t c'était la preuve d'un infini intermédiaire. J'ai dû louper quelque chose, ou tout cela me dépasse (une histoire de modèle des ensembles). Bref.

Ben justement (et c'est déjà ce que dit skullkid au dessus), si y'a un truc qui était totalement évident dès le départ, ben c'est qu'on ne risquait pas de prouver que p<t (dans ZFC).
Et comme on prouve aisément que p<=t (dans ZFC) , il ne restait que deux possibilité envisageables :
- Soit on arrive à prouver (dans ZFC) que p=t donc on a p=t dans tout les modèles de ZFC,
- Soit c'est indécidable c'est à dire que dans certains modèles de ZFC, on a p=t et dans d'autre modèles on a p<t. Et évidement dans ces modèles là (où p<t), l'hypothèse du continu est forcément fausse alors que, à contrario, dans un modèles de ZFC où HC est vrai, on a forcément (et évidement) p=t.

Et si j'ai bien compris le schmilblick, depuis le temps que personne n'arrivait à montrer que p=t (dans ZFC), un certain nombre de matheux commençaient à fortement conjecturer que c'est indémontrable dans ZFC ( =>... perdu...)