Encadrement réels

[Rana Viridis]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît :
Soient x et y deux réels vérifiant 5<x<10 et -7<y<10. Quel est le meilleur encadrement de x²-2x-4y²-32y-63 ?
Je ne sais pas comment se servir des deux inégalités.

[pascal16]

Il y a sans doute moins laborieux :
la fonction est C1, donc, elle atteint ses bornes :
soit là où ses dérivée partielles s'annulent et changent de signe toutes le deux dans le même sens.
soit sur les bords , exemple d'un bord : (x=5 et -7<y<10)

ça fait donc : une fonction à 2 variables et 4 à simple variable à étudier.

[Pseuda]

Bonsoir,

Intuitivement, je dirais qu'il vaut mieux avoir des formes canoniques pour obtenir le meilleur encadrement possible des polynômes du second degré.

Ici les variables x et y sont indépendantes, et on a même mieux que des formes canoniques puisqu'on a des identités remarquables : en tranformant le -63 du bout en -64+1.

[Rana Viridis]

Avec les identités remarquables cela donne (x-1)², mais en quoi est-ce une aide pour la suite ?

[pascal16]

ha oui, avec la forme (x-a)²-4(y-b)², ça se fait tout seul quand on a bien en tête la forme de la courbe.

[Pseuda]

5<x<10 donc 4<x-1<9 donc ...<(x-1)^2<...

Avec y, on a une autre identité remarquable.

C'est instinctif. La méthode de pascal16 est plus sûre.

[FLBP]

Bonsoir,

Une manière simple de faire est de tester avec les valeurs qui donnent un maximum et un minimum :
(ici avec -b/2a)




Alors



Cordialement.

[Pseuda]

ha oui, avec la forme (x-a)²-4(y-b)², ça se fait tout seul quand on a bien en tête la forme de la courbe.

(x-a)²-4(y-b)²= 0 est l'équation d'une hyperbole,
mais ne nous donne pas un encadrement de l'expression ?

[Pseuda]

L'encadrement est meilleur avec les formes canoniques : sauf erreur de calcul, compris entre -608 et -403.

[pascal16]

(x-a)²-4(y-b)²
le variables sont séparées, on peut donc faire varier indépendamment x et y et ensuite dans un second temps parler de leur différence. Attention pour chacune des variable, on est pas placé au même endroit de la parabole.

FLBP : -b/2a est en dehors du domaine de définition pour la partie en x. De plus, il faut étudier aussi les bornes : une parabole, sur un segment atteint ses min/max : soit au sommet de la parabole, soit aux bornes de l'ensemble de définition.

[Pseuda]

Les minimum et maximum sont donnés en effet aux sommets des paraboles.

[chan79]

salut
x²-2x-4y²-32y-63=(x-1)²-(2y+8)² est maximal si x=10 et y=-4 soit 81

idem pour le minimum (-768)

[Pseuda]

Ah c'est -7<y<10, j'avais vu 7<y<10.

[Pseuda]

C'est bien -7. Mini : -608, maxi : 81.

[chan79]

avec x=5 et y=10 on arrive à -768

[Pseuda]

Oui c'est ça.

[Rana Viridis]

Je n'ai pas compris comment on arrivait à -768 comme minimum et 81 comme maximum.

[aviateur]

Bonjour
Voilà comment ils ont fait: je désigne par f(x,y) l'expression.
1. f(x,y)=(x - 1)^2 - (2*y + 8)^2=u^2-v^2
u parcourt [4,9] et v parcourt [-6,28]
f(x,y) est max quand u^2 est le plus grand possible et v^2 le plus petit .e
max= 9^2-0^2=81.
f(x,y) est min quand ... i.e min= 4^2-28^2=-768.

2. Ou alors (cf @pseuda)



(x,y)=(1,-4) est le seul point critique mais il est en dehors de ton rectangle.
(x=1 n'est pas dans (5,10))
Le min et le max sont sont donc atteints aux bords du rectangle.

Tu commence par le bord x=5
f(5,y)=-48 - 32 y - 4 y^2 (c'est un polynôme de degré 2, no pb)
dont tu cherches le min et le max on trouve -768 et 16

Et tu fais la même chose sur chaque côté....
tu devrais retrouver le même résultat qu'au dessus

Conclusion
Ici la première méthode est plus rapide mais c'est parce qu'on est dans une situation simple (particulière).
la deuxième méthode est certes plus longue mais il arrive souvent que l"on ne peut pas y échapper.

[chan79]

Conclusion
Ici la première méthode est plus rapide mais c'est parce qu'on est dans une situation simple (particulière).
la deuxième méthode est certes plus longue mais il arrive souvent que l"on ne peut pas y échapper.

Exactement
x²-2x-4y²-32y-63=(x-1)²-(2y+8)²
Pour x variant entre 5 et 10, (x-1)² est maximal pour x=10
La valeur minimale de (2y+8)² est égale à 0 pour y=-4 .
Pour (x;y)=(10,-4)=(x-1)²-(2y+8)² =81

Pour x variant entre 5 et 10, la valeur minimale de (x-1)² est obtenue pour x=5 et la valeur maximale de (2y+8)² pour y=10
Pour (x;y)=(5;10), on a (x-1)²-(2y+8)² =16-784=-768
Ici, c'est facile car il n'y a pas de y dans le premier carré et pas de x dans le second.

[pascal16]

au passage,comme a a déjà calculé les dérivées partielles, on a les dérivées sur les bords, ça va assez vite.

résolution avec l'astuce
x²-2x-4y²-32y-63=(x-1)²-4(y +4)²
on a 2 équation indépendantes
f(x) = (x-1)² et g(y) =4(y +4)²
5<x<10 => 4<x-1<9 => 16< (x-1)²<81
-7<y<10 => -3<y+4<14 => 0<= 4(y +4)² <4*14² (attention, l'inégalité n'est plus stricte à gauche)
donc 16-4*14²< f(x)-g(y)< 81-0 (l'inégalité redevient stricte car pour 81, c'est une inégalité stricte)
finalement -768 < f(x)-g(y)< 81