Complexes

[kadaid]

Bonjour

On donne le complexe z=exp(7*Pi*n/12)
Calculer l'entier n tel que z soit un imaginaire.

z imaginaire implique 7*Pi*n/12=Pi/2 + k*Pi
donc n=6(2k+1)/7
7n=12k+6
7n-12k=6
pgcd(7,12)=1 donc pgcd(7,12) divise 6
l'équation admet des solutions dans N

A l'aide de Bezout (calculette) n=12h-30, h entier
J'ai vérifié avec quelques valeurs de n et on a bien z imaginaire

Y'a t-il mieux comme méthode ?

Merci pour des réponses

[zygomatique]

salut

7n = 6(2k + 1)

donc 7 divise 6(2k + 1) et ne divise pas 6 ...

donc 2k = 7p - 1

une solution est (3, 1)

donc 2(k - 3) = 7(p - 1)

2 divise 7(p - 1) et ne divise pas 7 donc p = 2q + 1

alors k - 3 = 7q <=> k = 7q + 3

donc n = 6(2k + 1) = 42(2q + 1)

je ne sais pas si c'est mieux ... ou si j'ai fait des erreurs ...

[pascal16]

Tu as la bonne méthode pour trouver toutes les solutions.
n=12h-30 <=> n=12h+6, c'est plus 'propre'

S'il faut en trouver juste une solution
il suffisait de tester n = 1,2,3,4,5,6.
12 et 7 étant premier entre eux, 7 et un élément régulier et on savait qu'on était modulo 12

[zygomatique]

autre méthode :

7n - 12k = 6 <=> 7(n - k) - 5k = 6 <=> 2(n - k) - 5(2k - n) = 6

une solution est

n - k = -2
n - 2k = 2

k = -4
n = -6


donc n = 12m + 6