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mehdi-128
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par mehdi-128 » 23 Sep 2017, 14:25
Bonjour,
Soit E l'espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans R.
Soit h une fonction positive sur E, montrer que si
}{\sqrt{(1-t^2)}} dt = 0)
alorsnh est la fonction nulle.
On a montré dans la question précédente que cette fonction est intégrable sur ]-1,1[.
J'ai
}{\sqrt{(1-t^2)}} dt = 0 \Rightarrow \frac{h(t)}{\sqrt{(1-t^2)}}=0 \Rightarrow h(t)=0)
Mais comment conclure que h est nulle sur [-1,1] ?
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zygomatique
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par zygomatique » 23 Sep 2017, 14:37
salut
h est positive sur [-1, 1] donc l'intégrande f(t) est positif sur l'intervalle ]-1, 1[
et l'intégrale d'une fonction positive est ...
(et l'énoncé est faux) ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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infernaleur
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par infernaleur » 23 Sep 2017, 14:38
Salut petit théorème que j'ai appris en sup :
Soient
des réels et
tels que :
-f est continue sur
-f est de signe constant sur
-
dt}=0)
Alors
=0)
[pas vu message de zygomatique pardon]
j'ai pas fait attention au dénominateur dans l'intégrale on peut pas appliquer ce théorème ...
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Kolis
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par Kolis » 23 Sep 2017, 17:08
Bonsoir !
On peut appliquer "presque le même".
Supposons
continue, non nulle en
(par exemple
=b>0)
)
Si
il existe un segment
, de longueur
de centre
tel que
}{\sqrt{1-t^2}}>\dfrac b2)
.
Alors l'intégrale est supérieure à
et ne peut être nulle.
Si
?
Ce qui précède montre que
est nulle sur
donc...
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Kolis
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par Kolis » 25 Sep 2017, 08:42
C'est une "démonstration par l'absurde", cela me paraissait aller de soi.
On suppose [tex]h[/tex] non nulle en un point
.
Si
on a une contradiction donc
nulle sur
.
Si
nulle sur l'intervalle ouvert et continue elle est forcément nulle en
.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 25 Sep 2017, 18:33
Kolis je comprends pas du tout ce passage d'où ça sort le segment de centre a et pourquoi la fonction est supérieure à b/2 ?
Si
il existe un segment
, de longueur
de centre
tel que
.
Alors l'intégrale est supérieure à
et ne peut être nulle.
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zygomatique
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par zygomatique » 25 Sep 2017, 20:30
il me semble avoir tout dit dans mon premier post ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 25 Sep 2017, 20:40
zygomatique a écrit:salut
h est positive sur [-1, 1] donc l'intégrande f(t) est positif sur l'intervalle ]-1, 1[
et l'intégrale d'une fonction positive est ...
(et l'énoncé est faux) ...
L'énoncé n'est pas faux ...
Mon théorème de Sup parle d'intégrale sur un segment [a,b] vu qu'ici on est sur ]-1,1[ ouvert c'est quel théorème qu'on utilise ?
Si l'intégrale de f sur [a,b] est nulle avec f positive alors f=0.
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zygomatique
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par zygomatique » 25 Sep 2017, 21:13
mehdi-128 a écrit:Bonjour,
Soit E l'espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans R.
Soit h une fonction positive sur E, montrer que si
alorsnh est la fonction nulle.
On a montré dans la question précédente que cette fonction est intégrable sur ]-1,1[.
J'ai
Mais comment conclure que h est nulle sur [-1,1] ?
donc l'énoncé est faux ...
que signifie que
 = \dfrac {h(t)} {\sqrt {1 - t^2}})
est intégrable sur l'intervalle ]-1, 1[ ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 25 Sep 2017, 22:25
infernaleur a écrit:Salut petit théorème que j'ai appris en sup :
Soient
des réels et
tels que :
-f est continue sur
-f est de signe constant sur
-
Alors
[pas vu message de zygomatique pardon]
j'ai pas fait attention au dénominateur dans l'intégrale on peut pas appliquer ce théorème ...
Surement prendre un intervalle [a,b] fermé avec a réel tel que a>-1 et b réel tel que b<1
Ensuite utiliser la continuité de h en -1 et 1
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Kolis
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par Kolis » 26 Sep 2017, 08:29
mehdi-128 a écrit:Kolis je comprends pas du tout ce passage d'où ça sort le segment de centre a et pourquoi la fonction est supérieure à b/2 ?
Si
il existe un segment
, de longueur
de centre
tel que
.
Alors l'intégrale est supérieure à
et ne peut être nulle.
Première question : sais-tu ce que veut dire fonction continue ?
Deuxième question : sais-tu ce que veut dire "démonstration par l'absurde" ?
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 26 Sep 2017, 16:28
Kolis a écrit: mehdi-128 a écrit:Kolis je comprends pas du tout ce passage d'où ça sort le segment de centre a et pourquoi la fonction est supérieure à b/2 ?
Si
il existe un segment
, de longueur
de centre
tel que
.
Alors l'intégrale est supérieure à
et ne peut être nulle.
Première question : sais-tu ce que veut dire fonction continue ?
Deuxième question : sais-tu ce que veut dire "démonstration par l'absurde" ?
Oui et oui mais je comprends pas votre raisonnement.
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Kolis
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par Kolis » 26 Sep 2017, 18:01
Bon ! Alors, détaillons :
=\dfrac{h(t)}{\sqrt{1-t^2}})
On suppose qu'il existe
tel que
\neq0)
. Alors
et
continue en
.
L'intervalle
est un voisinage de
)
(si tu tiens à mettre des
tu peux te contenter de
)
Il existe alors
(qu'on prend assez petit pour que
) tel que
\in Z)
donc
>b-\varepsilon=\dfrac b2)
.
Puisque
est positive et l'intégrale
convergente on a
: il y a contradiction.
On a donc montré que
est nulle sur
. Mais
est continue sur
et il en résulte par limite d'une fonction nulle
=h(1)=0)
.
..............................................................................
Si tu sais lire j'ai démontré en fait "ton" théorème : si l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment est nulle, alors la fonction est nulle sur le segment.
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zygomatique
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par zygomatique » 26 Sep 2017, 18:43
 = \frac {h(t)} {\sqrt {1 - t^2}})
est intégrable sur l'intervalle ]-1, 1[
donc pour tous réels a et b tels que -1 < a =< b < 1 :
 = \int_a^b f(t)dt)
converge
f est positive sur l'intervalle ]-1, 1[ donc I(a, b) >= 0 (cours de terminale)
or I(-1, 1) = 0 donc h(t) = 0
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 26 Sep 2017, 19:18
zygomatique a écrit: est intégrable sur l'intervalle ]-1, 1[
donc pour tous réels a et b tels que -1 < a =< b < 1 :
converge
f est positive sur l'intervalle ]-1, 1[ donc I(a, b) >= 0 (cours de terminale)
or I(-1, 1) = 0 donc h(t) = 0
Oui exactement ce que j'ai pensé !
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 26 Sep 2017, 19:31
Kolis a écrit:Bon ! Alors, détaillons :
On suppose qu'il existe
tel que
. Alors
et
continue en
.
L'intervalle
est un voisinage de
(si tu tiens à mettre des
tu peux te contenter de
)
Il existe alors
(qu'on prend assez petit pour que
) tel que
donc
.
Puisque
est positive et l'intégrale
convergente on a
: il y a contradiction.
On a donc montré que
est nulle sur
. Mais
est continue sur
et il en résulte par limite d'une fonction nulle
.
..............................................................................
Si tu sais lire j'ai démontré en fait "ton" théorème : si l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment est nulle, alors la fonction est nulle sur le segment.
Vos notations me perturbent et me perdent je réécris avec les notation qu'on voit en Sup et spé f est continue en a :
-f(a)| < \epsilon)
Avec :
=b > 0)
car h non nulle donc :
-b| < \epsilon)
Si je prends
alors :
-b| < \frac{b}{2})
Comment trouver le eta qui va ?
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Kolis
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par Kolis » 27 Sep 2017, 09:11
Dès que tu as un "eta" qui convient il est évident que tout réel plus petit convient aussi...
Et empresse-toi de changer l'inégalité de ton encombrante valeur absolue en l'unique inégalité qui sera utile !
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 27 Sep 2017, 17:49
Pour
on a :
-b < \frac{b}{2})
Soit :
 < \frac{3b}{2})
Comment trouver eta ? Il apparaît pas
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