[COMPLEXES] Résoudre C dans l'équation

[martinay]

Salut à tous !

J'ai un devoir à rendre dans le cadre d'une prépa à distance (reprise d'étude...) et je suis bloqué dans un exercice sur les nombres complexes.

On pose pour z appartenant à C - {1} Z = (1+z) / (1-z)

1/ On me demande de montrer que si module z = 1 alors Z est imaginaire pur.
J'ai donc remplacé z par ib et j'ai obtenu :

Z = ((1-b^2) / (1+b^2)) + i(2b / (1+b^2)) donc Z est bien imaginaire pur.

2/ Résoudre dans C l'équation ((1+z) / (1-z))^3 + ((1-z) / (1+z))^3 = 2
Et là c'est le drame ^^'
Ca fait plusieurs fois que j'essaie de développer le tout (en disant que l'équation est égale à 0) mais j'ai l'impression de ne pas me faciliter la vie.
A votre avis, vaut-il mieux continuer à développer le tout puis ensuite arriver à une équation du second degré et trouver les racines ou y-a-t-il une manière d'utiliser ce que je trouve dans la question 1 ?

++!

[zygomatique]

salut

je note z* le conjugué de z

si alors donc l'inverse de z est son conjugué



2/ il suffit de poser


EDIT : msg corrigé ...

[Ben314]

Salut,

1/ On me demande de montrer que si module z = 1 alors Z est imaginaire pur.
J'ai donc remplacé z par ib et j'ai obtenu :

Est-tu vraiment sûr que les complexes "de module égal à 1" ce sont ceux "qui s'écrivent ib avec b réel" ?

[martinay]

Merci pour ta réponse !

Tout d'abord je tiens à faire un ERRATUM sur l'équation proposée, erreur de signe entre les deux divisions ("+" au lieu de "-"), je vais modifier mon premier post :
((1+z) / (1-z))^3 + ((1-z) / (1+z))^3 = 2

Pour bien comprendre, quand tu écris si module de z = 1 alors zz* = 1 ; tu utilises la formule z*conj(z)=|z|^2 c'est bien ça ?

Et donc ensuite, je pose Z = ((1+z) / (1-z))^3 - 2 = 0 ? Je suppose que mon erreur de signe à la base doit changer un peu la donne non ?

Salut,

1/ On me demande de montrer que si module z = 1 alors Z est imaginaire pur.
J'ai donc remplacé z par ib et j'ai obtenu :

Est-tu vraiment sûr que les complexes "de module égal à 1" ce sont ceux "qui s'écrivent ib avec b réel" ?

Mon raisonnement est le suivant :
Afin de démontrer que Z est imaginaire pur sachant que module de z = 1, je dois calculer Z avec z=ib. Est-ce faux ?

Merci pour ta remarque en tous cas

[zygomatique]

Et donc ensuite, je pose Z = ((1+z) / (1-z))^3 - 2 = 0 ? Je suppose que mon erreur de signe à la base doit changer un peu la donne non ?

relis ce que j'ai écris ...

[martinay]

Juste Z = (1+z) / (1-z) = 2 ?
Désolé si ça te paraît évident mais j'avoue que je ne comprends pas comment juste en posant zz*, on peut dire que Z = ((1+z) / (1-z))^3 + ((1-z) / (1+z))^3 = 2

Ca fait longtemps que j'ai pas fait de maths et j'admets que c'est un peu dur de rentrer dedans ^^'

[zygomatique]

relis ce que j'ai écrit ....

[Kolis]

Ecrit par martinay :

Mon raisonnement est le suivant :
Afin de démontrer que Z est imaginaire pur sachant que module de z = 1, je dois calculer Z avec z=ib. Est-ce faux ?

Bien sûr que c'est faux : tu confonds et : c'est qui est de module 1 et imaginaire pur !
Tu dois calculer avec de module 1.

[martinay]

"Bien sûr que c'est faux"

Ok, je vois ce que tu veux dire, mais ça signifie qu'il y a plusieurs manières de faire non ? J'entends par là que pour que module z = 1, on peut avoir a = 0 et b = 1, l'inverse, a = 1/2 et b = rac(3)/2 et l'inverse etc.

Désolé si c'est vraiment simple mais j'ai besoin de comprendre pour me remettre à niveau !

[Ben314]

Oui, effectivement, des "complexe de module 1", ben y'en a plusieurs (et même une infinité...)
Donc tu peut effectivement essayer pour voir si ça marche avec quelques un d'entre eux (par exemple ceux que tu cite), mais ça ne constituera pas une preuve que ça marche pour tous.
Donc :
- Soit tu trouve une façon relativement simple d'écrire qu'un complexe z de module 1, il s'écrit z=?+?i de façon à te lancer dans les calculs (et il y a au moins deux truc possible qu'on peut écrire pour les ?)
- Soit tu garde ton z tel quel dans la formule et tu la "tripatouille" pour faire apparaitre quelque part du "module de z" dans la formule de façon à pouvoir utiliser l'hypothèse qui dit que ce module fait 1.
- Soit enfin tu "part de la fin" en te demandant quel calcul on peut faire sur Z qui prouverais sans coup férir que c'est un imaginaire pur et tu fait le calcul en question en cherchant à faire apparaitre le modyle de z de façon à pouvoir utiliser l'hypothèse.

A un niveau "élémentaire", je pense que la solution à privilégier est plutôt la première (mais les autres sont souvent bien plus rapide...)

[martinay]

Merci pour tes précisions.

Bon j'ai vraiment l'impression de passer pour une chèvre mais, au départ je dis que z=i (soit a = 0, b = 1 et donc module de z = 1). Ça revient à écrire que =
Z = (1+z) / (1-z) = (1+ib) / (1-ib) = ((1-b^2) / (1+b^2)) + i(2b / (1+b^2))

N'est ce pas ta première proposition ?

En fait je ne vois pas trop la différence lorsque tu écris :
"Donc tu peut effectivement essayer pour voir si ça marche avec quelques un d'entre eux (par exemple ceux que tu cite), mais ça ne constituera pas une preuve que ça marche pour tous." ==> Genre 0 et 1, soit ce que j'ai fait ci-dessus ?
et "- Soit tu trouve une façon relativement simple d'écrire qu'un complexe z de module 1, il s'écrit z=?+?i de façon à te lancer dans les calculs (et il y a au moins deux truc possible qu'on peut écrire pour les ?)" ==> tu peux m'éclairer quand tu dis "qu'il y a au moins deux trucs possibles qu'on peut écrire pour les ?" ; ce n'est pas la même chose qu'écrit précédemment ?

[Ben314]

Bon j'ai vraiment l'impression de passer pour une chèvre mais, au départ je dis que z=i (soit a = 0, b = 1 et donc module de z = 1). Ça revient à écrire que =
Z = (1+z) / (1-z) = (1+ib) / (1-ib) = ((1-b^2) / (1+b^2)) + i(2b / (1+b^2))

Si tu dit que z=i (ce qui est effectivement un cas particulier de complexe de module 1), je comprend pas pourquoi ensuite tu remplace z par b fois i et pas directement par i.
Ou alors dans tout ce que tu écrit, il faut comprendre que b est égal à 1 et dans ce cas, on a (1-b^2) / (1+b^2) qui vaut 0 et donc Z est bien un imaginaire pur !

[martinay]

Yes c'est ce que je veux dire ! Effectivement c'est mal écrit mais c'est ce j'avais en tête..

Bon je vais continuer à tafer sur la deuxième question en suivant le conseil zygomatique, c'est pas dit que je vous laisse tranquille tout de suite...

Merci pour ces premières explications !

[chan79]

pour la 1
La partie réelle d'un complexe est égale à
il faut montrer que
sachant que



on réduit au même dénominateur et on trouve 0.

Mais c'est plus simple de remplacer z par cos(t)+i*sin(t) et de chercher la partie réelle de Z

[Pythales]

Si alors et
Je te laisse continuer ...