Application

[freezee]

Bonjour,
je dois déterminer l'image de la courbe d'équation x²+y²=1 par une fonction f définie par
x' = 3x-6y+10 et y' = x-2y+5.
j'ai tenté d'exprimer x et y en fonction de x' et de y' mais je n'y parviens pas.
comment peut-on faire ?
merci

[freezee]

autre idée : je peux exprimer y en fonction de x
y=+/- Rac(1-x²)
et en remplaçant y respectivement par ses deux valeurs possibles, je trouve une réunion de deux équations de droites. Est-ce correct ?

[freezee]

pardon on obtient une droite d'équation x'-3y'+5=0

[freezee]

Je précise que f est une application de P dans P (plan euclidien rapporté à un R.O.N)
Mais je remarque que quelque soit l'expression de y en fonction de x l'image par f sera toujours la même non ?

[chan79]

salut
tu as x'-3y'=-5
L'image du cercle d'équation x²+y²=1 est donc incluse dans la la droite d'équation x-3y=-5

[freezee]

bonjour Chan79
merci pour ta réponse. mais peut-on dire que quelque soit la courbe que j'ai au départ, alors son image par f sera toujours incluse dans la droite d'équation x'-3y'=5 ?

[chan79]

bonjour Chan79
merci pour ta réponse. mais peut-on dire que quelque soit la courbe que j'ai au départ, alors son image par f sera toujours incluse dans la droite d'équation x'-3y'=5 ?

oui, cette égalité est toujours vérifiée
Dans le cas présent, on peut montrer que l'image est le segment avec


coordonnées de son milieu (10;5)

[aviateur]

Bonjour
Je ne comprends toutes vos réponses.
Ici f est une transformation affine, la courbe est un cercle. L'image a toute les chances d'être une ellipse.

[chan79]

salut
Si tu prends n'importe quel point M(x;y) du plan, son image M' appartient à la droite d'équation: x-3y=-5

[Ben314]

Bonjour
Je ne comprends toutes vos réponses.
Ici f est une transformation affine, la courbe est un cercle. L'image a toute les chances d'être une ellipse.

Le problème est, comme d'habitude, un problème de définition :
- Si tu entend par "transformation affine" uniquement le fait que l'application est affine, alors oui, c'est bien une "transformation affine". Mais si comme certains auteurs tu entend par "transformation affine" le fait que c'est une bijection affine, alors non, ce n'est pas une "transformation affine".
- Idem pour "ellipse" où, selon la définition prise, un segment [AB] va être considéré comme comme n'étant pas une ellipse ou bien comme étant bien une ellipse "dégénérée" (le petit axe est de longueur nulle).

[freezee]

comment parviens-tu à déterminer les coordonnées des extrémités du segment [KH] ?
je sais que x et y sont compris entre -1 et 1 mais cela ne me donne pas les valeurs que tu trouves...

[chan79]

tu peux par exemple paramétrer le cercle


variant entre 0 et

[aviateur]

Rebonjour @ben
Je ne comprends pas ta remarque non plu.
f ici est manifestement la composée d'une application linéaire inversible et d'une translation. C'est une transformation affine et de plus bijective.
Les distances ne sont pas conservées mais je vois mal comment le cercle va se transformer en un segment.
d'autre part l'équation de l'image est :
c'est bien une ellipse.

[aviateur]

Rebonjour Mille excuses
Dans la première équation j'ai mis un +6X à la place de -6X ce qui change tout.
Ne pas tenir compte de mes remarques!!!!
merci

[Ben314]

Concernant les extrémités du segment, vu qu'on a systématiquement x'=3y'-5 il suffit de trouver l'ensemble des valeurs prises par y'=x-2y+5 lorsque (x,y) décrit l'ensemble d'équation x²+y²=1.
Il y a des tas de façon de procéder :
- La première qui vient à l'esprit est sans doute celle proposée par chan79 qui consiste à prendre une paramétrisation de l'ensemble d'équation x²+y²=1 et la première qui vient à l'esprit est évidement x=cos(theta) ; y=sin(theta) et le problème revient à étudier les valeurs prises par la fonction f(theta)=cos(theta)-2.sin(theta)+5 (pas bien compliqué à l'aide d'un simple tableau de variation).
- Évidement toute autre paramétrisation du cercle trigo convient, donc si on aime pas trop les fonction trigo, on peut prendre l'autre paramétrisation archi classique, à savoir x=(1-t²)/(1+t²) ; y=2t/(1+t²) donc étudier les variations (sur R) de g(t)=(1-t²)/(1+t²)-4t/(1+t²) +5
- Mais il y a aussi d'autre méthodes plus malines : si y'=x-2y+5 prend la valeur k pour un certain (x,y) tel que x²+y²=1, ben ça signifie très précisément que le système x-2y+5=k ; x²+y²=1 admet au moins une solutions.
Or la première équation donne x=2y-5+k qui, injecté dans la deuxième, donne (2y-5+k)²+y²=1 qui est une simple équation du second degré en y et il suffit de chercher pour quelles valeur de k cette équation admet au moins une solutions (évidement en regardant quand est-ce que le discriminant est positif ou nul).
- Enfin, cette dernière méthode peut être vue de façon purement géométrique : les différents ensemble d'équation x-2y+5=k forment une famille de droites parallèles toutes dirigées par le vecteur (2,1) et on cherche parmi ces droites lesquelles coupent le cercle trigo. Si on a deux sous de bon sens géométrique, on voit que ce sont toutes les droites "comprises entre" les deux tangentes au cercle dirigées par (2,1). Il reste à trouver ces deux tangentes et ça se fait facilement en cherchant l'intersection du cercle trigo. et de la droite passant par le centre du cercle et dirige par (-1,2) [=vecteur orthogonal à (2,1)]

[chan79]

Pour le fun
https://www.geogebra.org/m/snXKDsfv

[freezee]

oups... j'ai oublié de vous remercier !
Voilà un GRAND MERCI A CHAN 79 ET A BEN314 !!
J'en ai eu plus que demandé et les réponses ont été très enrichissantes.
Au plaisir donc...