Probabilite denombrement

[infernaleur]

Le nombre de disposition identique des boules dans les tirroirs

[Lostounet]

Si on suppose rangées les boules dans les tiroirs (fixe les 4), je pense que le nombre de copies évitées est 4! non?
Donc au total on a 70×4! copies ... de ces copies on prend 70 représentants. Le reste sont des redondantes.

Par exemple si on prend l'exemple:
T1) Boule 1
T2) Boule 2
T3) B3 et B4
T4) Rien
T5) Rien

Cela est pareil que
T1) Boule 2
T2) B3
T3) B1 et B4
T4) vide
T5) est vide

Donc on compte le nombre de façons de permuter les 4 boules sur cette configuration (donc 4!) et on a dénombré 70 configurations distinctes.


C'est flou ce que représentent les 555 pour moi.. à part d'être des 'redondances' des 70 autres.

[Pseuda]

Bonjour,

Il y a 5 cas (celles de Céline) pour les dispositions des boules dans les tiroirs (1 boule dans chaque tiroir, 2 boules dans un tiroir et 1 boule dans 2 autres tiroirs, etc...).

Les 555 dispositions supplémentaires obtenues en différenciant les boules peuvent être dénombrées au cas par cas.

Par exemple pour le 1er cas (1 boule dans chaque tiroir), cela fait 5 dispositions possibles si on ne différencie pas, et 5*4!= 5! si on différencie, soit un écart de 115. Mais les autres cas me semblent plus compliqués.

[beagle]

Sinon il ya une formule pour ce truc, c'est le C/
Cbarré(n,r) = C(n+r-1, r-1)

6 poissons dans 3 aquariums :C(6+3-1,3-1

[Celinecelouchecel]

Begale merci C'est justement ca que je cherchais car la prof a parlè de ca comme pour nous guider mais comme je n'avais pas compris jai preferè utiliser une autre methode qui est finalement pas pratique du tout . Peux tu m'expliquer ce que c'est Sil te plait ? Je nai pas envie de la retenir juste comme ça

[Lostounet]

Bonjour,

Il y a 5 cas (celles de Céline) pour les dispositions des boules dans les tiroirs (1 boule dans chaque tiroir, 2 boules dans un tiroir et 1 boule dans 2 autres tiroirs, etc...).

Les 555 dispositions supplémentaires obtenues en différenciant les boules peuvent être dénombrées au cas par cas.

Par exemple pour le 1er cas (1 boule dans chaque tiroir), cela fait 5 dispositions possibles si on ne différencie pas, et 5*4!= 5! si on différencie, soit un écart de 115. Mais les autres cas me semblent plus compliqués.

Salut Pseuda,
Pourrais-tu m'expliquer ce que représentent 4!×70 (70 configurations × 4! nombre d'arrangements).

Je crois que je ne compte pas de manière exacte les configurations redondantes. (555 vs 70×4!)

[beagle]

tu as 5 tirroirs
on va donc délimiter 5 emplacements par 4 traits I
...I...I...I...I...
les ... sont des tirroirs ils y a 5-1 emplacements de I à mettre = r-1 séparations de tirroirs

dans les tirroirs tu ranges des boules: O
il y a 4 boules

on a donc 4+4 = 5+4-1 emplacements totaux, n+r-1 emplacements totaux à choisir

Si je choisis 4 emplacements de traits dans les 8emplacements totaux, le reste est forcément les boules:
exemple:
0II00I0I
1 dans tirroir =T 1
zero dans le T2, 2 boules dans T3, 1boule dans T4 , et rien dans le T5

II0II000
T1 =zero, T2= zero, T3 =1 boule, T4 = zero, T5 = 3 boules

donc je choisis 5-1 =les séparations dans 5+4-1 choix de place
C(r-1, n+r-1)

[Celinecelouchecel]

Ahhh J'aii saisi merci beaucoup ^^ !

[Pseuda]

Pour info, la méthode exposée par Beagle est la même que celle que j'ai exposée. La seule différence, ce sont les 2 traits aux extrémités (qui matérialisent les tiroirs), qui ne changent rien au principe. On aboutit à C(8 4)=70.

[Pseuda]

Salut Pseuda,
Pourrais-tu m'expliquer ce que représentent 4!×70 (70 configurations × 4! nombre d'arrangements).

Je crois que je ne compte pas de manière exacte les configurations redondantes. (555 vs 70×4!)

Bonjour Lostounet,

Il n'est pas question de faire 70*4!, j'ai dû mal m'exprimer.

Le 4! (qu'on multiplie aux 5 dispositions possibles du cas où on met une boule par tiroir (5 parce que c'est le choix du tiroir vide)), c'est uniquement pour ce cas-là : on choisit les 4 tiroirs où on met une boule dans chaque, puis on différencie les 4 boules, cela fait 4! arrangements possibles pour une seule disposition non différenciée.

Pour le cas où on met toutes les boules dans le même tiroir, il y a aussi 5 dispositions possibles non différenciées (le choix du tiroir), mais si on veut différencier les boules, cela ne change rien au nombre d'arrangements différenciés. Donc là, cela fait 5 pour 5.

Pour le cas 2 boules dans un même tiroir, et les 2 autres boules chacune dans un tiroir différent, cela fait 5*6=30 dispositions non différenciées. Si on veut différencier, cela parait plus compliqué : on choisit d'abord les 2 boules qui vont ensemble et le tiroir où elles vont (5*6), puis les 2 tiroirs où vont les 2 autres (6). Total (sauf erreur) : 30*6=180 arrangements différenciés, soit un écart de 150 avec les non différenciés.

Avec les autres cas, on doit arriver aux 555d'écart.

[aviateur]

Bonjour
Une autre façon de voir:
Soit le nombre de boules dans le tiroir numéro i.
On a ainsi cela revient à déterminer le nombre de quintuplets d'entiers naturels solution de l'équation précédente.
Maintenant si on considère la fonction où r est quelconque mais supérieur à 4 (autant prendre ) le nombre de quintuplets précédent correspond aussi au coefficient de de f(x) dans le développement en séries.
Il reste à calculer
f(x)=1/(1-x)^5


Bien sûr en généralisant avec n tiroirs et p boules.


Par récurrence on obtient

d'où le coefficient de égal à :

Sur l'exemple cela fait (oui)

[Pseuda]

Je me disais bien qu'il y avait une autre façon de voir les choses, mais je pensais plutôt au nombre d'applications croissantes de [1,4] dans [1,5]. Je vais regarder celle-là de plus près.