Re: logique algebre

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kousuke
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Re: logique algebre

par kousuke » 18 Sep 2017, 16:16

Montrer par recurence que pour tout n € N* toute fonction croissante f de [1,n] dans [1, n] admet un point fixe



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Ben314
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Re: logique algebre

par Ben314 » 18 Sep 2017, 17:50

Salut,

Initialisation : évident pour n=1.

Hérédité : si c'est vrai pour toute fonction de {1..n} dans {1..n} et qu'on prend une fonction f:{1..n+1}->{1..n+1} alors
- Soit f(n)<=n donc ...
- Soit f(n)>n donc ...
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kousuke
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Re: Re: logique algebre

par kousuke » 18 Sep 2017, 22:46

Désolé mais j'ai pas vraiment compris qu'entend tu par f (n)<= c'est une application?

Tiruxa47
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Re: Re: logique algebre

par Tiruxa47 » 20 Sep 2017, 15:54

Bonjour

Non c'était une inégalité au sens large, dans le premier cas donné par Ben314 on utilise l'hypothèse de récurrence, dans le deuxième cas c'est à mon sens plus délicat.

Personnellement je ne vois pas l'intérêt de la récurence ici , mais je ne maitrise pas assez le sujet pour être catégorique...

En effet si on raisonne directement sur [0;n] , si f(0)=0 c'est évident, donc il reste le cas f(0)>0 qui se résout je pense comme f(n)>n dans la démonstration par récurrence...

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Ben314
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Re: logique algebre

par Ben314 » 20 Sep 2017, 17:02

Pour le deuxième cas, c'est pas bien méchant non plus : si f(n)>n, c'est que f(n)=n+1 (vu que a fonction atterrit dans {1..n+1}). Et comme f est supposée croissante, c'est qu'on a aussi f(n+1)=n+1 donc n+1 est point fixe.
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Re: Re: logique algebre

par Tiruxa47 » 21 Sep 2017, 00:03

Ok, merci Ben, en fait au départ il était indiqué [1,n] d'où mes interrogations .... mais sur {1..n} c'est en effet bien plus clair !

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chan79
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Re: logique algebre

par chan79 » 21 Sep 2017, 09:17

salut
supposons que f n'admette pas de point fixe
Montrons par récurrence que f(k)>=k+1 pour tout k appartenant à {1,2,..,n}
f(0)>=1
si f(k)>=k+1 alors f(k+1)>=f(k)>=k+1 car f est croissante donc f(k+1)>=k+2 car on a supposé f n'a pas de point fixe
on a donc toujours f(k)>=k+1
on arrive à f(n)>=n+1. C'est impossible donc f admet au moins un point fixe

kousuke
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Re: logique algebre

par kousuke » 24 Sep 2017, 17:33

chan79 a écrit:salut
supposons que f n'admette pas de point fixe
f(0)>=1
si f(k)>=k+1 alors f(k+1)>=f(k)>=k+1 car f est croissante donc f(k+1)>=k+2 car on a supposé f n'a pas de point fixe
on a donc toujours f(k)>=k+1
on arrive à f(n)>=n+1 impossible donc f admet au moins un point fixe

Ouii effectivement tu as raison mais ce qu'on nous demande c'est un raisonnement par recurence et non par absurde mercii infiniment :hehe:

kousuke
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Re: logique algebre

par kousuke » 24 Sep 2017, 17:36

Ben314 a écrit:Pour le deuxième cas, c'est pas bien méchant non plus : si f(n)>n, c'est que f(n)=n+1 (vu que a fonction atterrit dans {1..n+1}). Et comme f est supposée croissante, c'est qu'on a aussi f(n+1)=n+1 donc n+1 est point fixe.


Desolé mais svp pouver vous m'expliquer le 1er cas également :( je n'arrive pas à le démontrer je serais reconnaissante et merci d'avance :hehe:

 

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