Problème de probabilité

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Menthix
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Problème de probabilité

par Menthix » 20 Sep 2017, 20:53

Bonjour, j'ai un problème au sujet d'un exercice.
Je fais l'exercice de deux manières différentes et trouve deux résultats différents sans toutefois trouver l'erreur dans l'une ou l'autre des résolutions.

L'énoncé : Un groupe de n personnes dont A et B se répartissent au hasard dans une rangée de n fauteuils .
Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement n-2 personnes entre A et B ?

Pour qu'il y ait exactement n-2 personnes entre A et B il faut que A et B soient chacun assis à une extrémité de la rangée de fauteuils.
Méthode 1 :
- Probabilité que A s'asseye à l'extrémité gauche : 1/n
- Probabilité que B s'asseye à l'extrémité droite : 1/n-1
On calcule l'intersection des deux événements : 1/n * 1/n-1

Méthode 2 :
- A doit choisir une des extrémités de la rangée : (1 parmi 2) fauteuils possibles. Probabilité : (1 parmi 2)/n
- B doit choisir le siège de l'extrémité opposée à A, soit : 1 siège sur les n-1 restant : Probabilité 1/n-1
On calcule l'intersection des deux événements : 2/n * 1/n-1

Je ne sais pas quelle méthode est la bonne est pourquoi.
Merci d'avance :)



aviateur
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Re: Problème de probabilité

par aviateur » 20 Sep 2017, 21:10

Bonjour
Déjà tu peux réfléchir dans le cas n=2.
Ensuite "calculer l'intersection de deux évènements" est-ce que tu penses que c'est bien dit?

Maintenant combien y-a-il de façon de placer A et B dans la rangée?

Menthix
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Re: Problème de probabilité

par Menthix » 20 Sep 2017, 21:27

Bonjour,
Dans le cas n=2 : Il y a 2! façons de placer A et B dans la rangée. J'en conclus que la bonne (en tout cas moins mauvaise) des deux méthodes est la deuxième car elle comptabilise les 2 façons qu'ont A et B de se placer dans la rangée avec n-2 fauteuils d'écart.
Ensuite, "calculer l'intersection des deux événements" : c'est très mal dit je suis d'accord avec toi. Il aurait fallu que je précise qu'un événement X est : A s'assied sur une des extrémité ; et un événement Y est : B s'assied sur l'autre extrémité. Par ailleurs le terme de "conjonction" semble plus opportun.

Est-ce que la méthode 2 donne la bonne réponse ?

Pseuda
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Re: Problème de probabilité

par Pseuda » 20 Sep 2017, 23:30

Bonsoir,

Oui c'est la méthode 2 qui est la bonne. Dans la 1, il manque le cas où A est à droite et B est à gauche.

Cela est confirmé par une 3ème méthode (si on peut dire car tes 2 méthodes se ressemblent beaucoup) : par dénombrement, le nombre de façons où A et B sont aux extrémités : 2*(n-2)! (2 façons de ranger A et B, et (n-2)! façons de ranger les autres, divisé par le nombre total de rangements possibles : n!. On retrouve bien 2/(n*(n-1)).

 

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