[Ensembles] Construire Z à partir de N

[Nilav]

Hello, voilà j'ai une application qui permet de "construire" l'ensemble des entiers relatifs à partir des entiers naturels, et pour l'instant j'ai ça:



Je suis tenté de dire que si n est impair on fait mais je demande déjà si c'est bon, et surtout s'il n'y a pas une autre façon ? C'est la première fois que je manipule ce genre de chose donc je ne suis sûr de rien

[pascal16]

"-(n+1)/2" serait plus judicieux, même si l'approche n'est pas celle de la construction de Z

[Nilav]

Oui effectivement, erreur bête

[zygomatique]

salut

chez moi n - (n + 1) = -1

n - (n + 1)/2 = ?

[Lostounet]

"-(n+1)/2" serait plus judicieux, même si l'approche n'est pas celle de la construction de Z

Oui..
Sans vouloir faire chier mais quand tu définis N l'ensemble des naturels, on peut définir seulement l'opération + de composition interne (monoïde commutatif).

Par contre pour construire Z à partir de cela on ne peut pas (encore) utiliser le signe " - " pour ajouter par la force un élément. L'opération - n'est pas définie encore (car on peut sortir de N).

Un autre problème est que l'écriture d'un entier relatif avec le symbole "-" n'est pas unique:
-1=5-6 = 7-8 =...
Il y a donc plusieurs couples (a;b) antécédents de -1 avec a-b=-1 et il faudrait alors tous les 'identifier' entre eux (par une relation d'équivalence).

Donc si d'après le titre tu veux construire Z, l faut déjà trouver un moyen de passer de N à Z de manière plus naturelle. Si par contre ton but est d'associer à chaque entier naturel un entier relatif ou quelque chose du style pourquoi pas.. mais ce n'est pas une bonne construction axiomatique classique de Z à ma connaissance. (Moi je sais qu'on peut quotienter N×N par ladite relation d'équivalence).
Pour diviser il faut alors encore définir la division ...

Quelqu'un peut il en dire plus?

[pascal16]

pour les nombres pairs, on a bien une compatibilité de la loi + dans N avec la loi + dans Z
pour les négatifs, ça marche pas car la somme de deux nombres impairs est paire et l'image n'est plus bonne, il y un décalage

[Lostounet]

pour les nombres pairs, on a bien une compatibilité de la loi + dans N avec la loi + dans Z
pour les négatifs, ça marche pas car la somme de deux nombres impairs est paire et l'image n'est plus bonne, il y un décalage

C'est quoi un nombre pair? De quoi part-on ?

Si tu veux partitionner pair/impair tu parles déjà de classes d'équivalence non? (des classes résiduelles modulo 2).
Puis pour parler de n/2...

[Pseuda]

pour les nombres pairs, on a bien une compatibilité de la loi + dans N avec la loi + dans Z
pour les négatifs, ça marche pas car la somme de deux nombres impairs est paire et l'image n'est plus bonne, il y un décalage

Bonsoir,

Je ne vois pas ce que les nombres pairs et impairs viennent faire dans la construction de Z à partir de N ?

Par contre, je trouve que Lostounet a remarquablement bien expliqué cette construction (son début) !

[pascal16]

Vous partez de chose connues, oubliez vos savoirs et reprenez la base.
soient deux ensembles.
on crée un bijection de l'un vers l'autre.
une étape suivante possible est de voir si les lois de composition interne sont compatible avec la fonction pour se rapprocher d'un morphisme. On sait que ce n'est pas possible car d'un coté on a un groupe et pas de l'autre, donc le morphisme de groupe est impossible. Mais rien n'empêche d'avoir des morphismes compatibles avec des lci.
D'autre part, on sait modifier la loi + dans Z pour que ça soit compatible (et cette nouvelle loi + fait que (Z,+) n'est plus un groupe !).

[beagle]

le débat est intéressant mais le problème initial était formulé:
" "construire" l'ensemble des entiers relatifs à partir des entiers naturels"

un peu comme s'il voulait juste faire une bijection, non?

[pascal16]

tu as raison, c'est bien "construire" avec des guillemets et pas construire sans guillemets (cf mon premier message).

soit x € Z
si x est positif (ou nul) son antécédent est unique est est 2x
si x est strictement négatif son antécédent est unique est est -2x-1

on a bien une bijection