Suite (2^n)/n!

[Théaurème]

Bonjour à tous ! Dans un exercice sur les suites, on considère la suite Un = (2^n)/n!
On m'a d'abord demandé de calculer U0, U1, U2, U3, puis de montrer que la suite est décroissante sur N* et convergente. Mais maintenant, on me demande de montrer que Un est inférieure ou égale à 4/n.
Je ne vois pas comment faire... Pourriez-vous m'aider, s'il-vous-plaît ? Merci

[infernaleur]

salut, tu peux le montrer par récurrence

[Théaurème]

Oui, mais je n'arrive pas à le prouver par récurrence

[infernaleur]

où bloques-tu dans la partie "hérédité" ?

[Théaurème]

Justement, je ne vois pas du tout comment procéder pour l'hérédité. J'ai essayé de montrer que ((2^n+1)/(n+1)!)-4/(n+1) est inférieur à 0
Seulement, j'arrive à (2^(n+1)-4n!)/(n+1)! inférieur à 0.
Et je ne vois pas quoi en faire

[infernaleur]

Si tu arrives à ce résultat sache que tu as pratiquement fini.
En effet :

donc
donc tu peux en déduire que

toi tu as

Donc

Donc normalement c'est bon sauf si ta démarches pour arriver à la formule que tu ma donnés est fausse.

[Théaurème]

Ah, oui ! C'est bon, j'ai pu retrouver, merci

[infernaleur]

de rien

[zygomatique]

salut

ça se démontre tout de même très simplement

pour n > 1

ou

[Ben314]

Certes, mais j'ai l'impression que Théaurème a une façon bien à lui de mener les récurrence qui consiste à ne surtout pas utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité :

Justement, je ne vois pas du tout comment procéder pour l'hérédité. J'ai essayé de montrer que ((2^n+1)/(n+1)!)-4/(n+1) est inférieur à 0
Seulement, j'arrive à (2^(n+1)-4n!)/(n+1)! inférieur à 0.
Et je ne vois pas quoi en faire

(utiliser l'H.R., c'est pour les gros nazes : quand on est vraiment bon, on fait les récurrence sans ça...)

[Théaurème]

Alors, oui, effectivement ._. J'ai fait une erreur de débutant et m'en suis rendu compte haha
J'ai repris le raisonnement depuis le début et suis retombé sur le raisonnement de zygomatique.
Il me restait ensuite la dernière inégalité à laquelle je n'ai pas pensé, car trop enfermé dans la première (je n'avais juste pas pensé à dire que (4/(n+1) × 2/n) était inférieure à 4/n+1)
Je ne suis pas encore très à l'aise avec les récurrences (j'imagine que cela s'est vu)
Je vous remercie pour vos réponses