Ensemble des suites réelles de limite nulle

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit E l'ensemble des suites réelles de limites nulles, on munit cet ensemble de la norme infinie, E un R espace vectoriel normé.

Soit h la forme linéaire définie par :

J'ai la relation :

1/ Pourquoi h est une forme linéaire non nulle ?

2/ Pourquoi on a ?

Merci

[lionel52]

Bah la forme linéaire ça se voit ! Sinon vérifie que h(u+v) = ... et h(av) = ...
Et pour non nul exhibe une suite simple de E dont h(u) n'est pas nul...

pour tout n donc tu as une somme de termes négatifs ou nuls qui vaut 0 d'où ...

[Ben314]

Salut,
Perso., face à la question "montrer que h est une forme linéaire non nulle", ben avant d'écrire quoi que ce soit d'autre, je vérifierais que h est bien définie, c'est à dire que quelque soit la suite (un) de E, la série constituant la définition de h est convergente (et si c'est un exam. ou un concours, c'est bien plus là dessus que tu sera noté que sur le h(U+V)=h(U)+h(V) qui est totalement évident)

Et sinon, ton "j'ai la relation", ben je comprend pas ce que ça veut dire (à ton niveau, faudrait peut-être commencer à comprendre que les quantificateurs qu'on met devant les propositions, c'est pas juste pour faire joli...)

- Si ce que tu as voulu dire c'est que cette égalité est vrai pour toute suite (un) de E alors c'est évidement complètement faux : rien que pour la suite (2,1,0,0,0,...), c'est faux.
- Si ce que tu as voulu dire, c'est que l'on considérait une suite (un) de E qui vérifie cette relation (et que la suite de l'exo. demande de montrer qu'une telle suite vérifie certaines choses), alors... pourquoi pas, mais tu n'a évidement pas à te demander si la relation est vrai ou pas : elle l'est par hypothèse et c'est tout.

[mehdi-128]

Oui désolé j'ai manqué de précision.

Déjà à la question 1 on montre que la série est convergence.

La linéarité et continuité de h on la montre à la question 2.

Et là je voulais montrer que h une non nulle mais jai pas trouvé de suite de limite nulle tel que h(u) différent de 0.

Cette égalité provient du fait qu'on veut montrer qu'il n'existe pas d'éléments u non nul de E tel que :


Pour cela je raisonne par l'absurde : soit u un élément de E tel que

Je tombe sur : où :
C'est pas évident pour moi que ça implique :

[Ben314]

Évidement, parti comme ça, c'est mal barré :

Cette égalité provient du fait qu'on veut montrer qu'il n'existe pas d'éléments u non nul de E tel que :

C'est pas du tout ça qu'on doit montrer.
Dire qu'une "forme linéaire est non nulle", ça veut dire que la forme en question n'est pas égal à la "forme linéaire nulle" (celle telle que x->0 pour tout x) donc pour le montrer, il suffit d'exhiber UN x tel que h(x) soit non nul.

C'est vrai que lorsque l'on parle de fonction F quelconque, par exemple de R->R, dire que "F est non nulle", c'est pas clair vu que ça peut signifier :
- Soit que la fonction F ne s'annule jamais, c'est à dire que F(x) est non nul pour tout x.
- Soit que la fonction F est différente de la fonction nulle x->0, c'est à dire que F(x) est non nul pour au moins un x.
Et en général, pour qu'il n'y ait pas ambiguïté, on écrit jamais "F est non nulle", mais dans le premier cas, on écrit "F ne s'annule jamais" et dans le deuxième "F est non identiquement nulle".

Mais dans le cas de l'algèbre linéaire, c'est différent : les fonction (linéaires) qu'on manipule forment quasi systématiquement un espace vectoriel et dans ce cas, lorsque l'on dit que "une fonction est non nulle", ça veut systématiquement dire qu'elle est différente du vecteur nul, c'est à dire non identiquement nulle.

[mehdi-128]

D'accord c'est compris. J'en suis à l'avant dernière question de ce problème :
http://www.maths-france.fr/MathSpe/Prob ... Enonce.pdf

Pouvez vous m'expliquer pourquoi :

[Ben314]

Ben c'est complètement couillon : par définition même, pour tout n dans , on a donc la série ne contient que des termes négatifs ou nuls et n'est nulle que si tout les termes sont nuls.

[mehdi-128]

Merci c'est clair