Petite équation dans les N

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LesPiedsDansLeSable
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Petite équation dans les N

par LesPiedsDansLeSable » 17 Sep 2017, 08:24

Bonjour, bonsoir,

J'ai trouvé une petite colle sur un post-it collé sur le frig' de mon père. J'imagine que mon petit frère a du la mettre par là avant de partir en weekend, pris de nostalgie pour mes années lycée j'ai sorti une feuille un crayon et j'ai gribouillé pour trouvé une solution :D .

Voilà la bête : n + (5/4) < 4^n

Sans plus d'info, n étant probablement un entier naturel, j'imagine qu'il cherche l'intervalle de valeur de n validant notre petite équation. en un clin d'oeil c'est résolu évidemment mais la question de la démonstration me tracasse, alors me revoilà plongé avec tendresse et émotion dans le monde des maths.

Bref, donc j'ai ça pour le moment :
0 < 4^n - (n + (5/4) )
soit f(x)= 4^x - (x + (5/4) )
f'(x)= 4x ln(4) -1
donc f'(x) strictement croissante et si f'(x) = 0 alors x = 1/ (4ln4))
donc f et croissante à partir de x = 1/ (4ln4))

Maintenant mon problème c'est de partir à la chasse de la valeur de x telle que f(x) = 0 , et je me retrouve avec une affaire que je n'arrive pas à toucher, à savoir : 0 = 4^x - (x+ (5/4))

Une idée ?
Y a t il plus malin à faire, j'avais commencé un truc avec des 4^(n+1), et ça m'a évoqué de lointain souvenirs de suites, enfin bref, je suis preneur d'une solution ou bien d'une piste pour une résolution plus élégante ...

A défaut de réponse je demanderai à l'infâme mouflet, mais avant de m'abaisser à ça je viens vous voir les matheux du web :lol: .



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chan79
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Re: Petite équation dans les N

par chan79 » 17 Sep 2017, 09:54

salut
petite erreur pour f'(x)
f'(x) s'annule si soit environ -0,2356

LesPiedsDansLeSable
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Re: Petite équation dans les N

par LesPiedsDansLeSable » 17 Sep 2017, 10:10

Merci dude,
du coup ça résout (presque) la question, si ma fonction f est croissante pour tout x appartenant à N alors reste à trouver la première valeur de n qui définira la borne inférieure de mon intervalle de solutions.
Du coup m'est il possible de résoudre 0 = 4^x - (x+ (5/4)) ; (sachant que j'ai un niveau bac S un peu rouillé :hehe: ), ou la solution m'est-elle seulement accessible par l'essai-erreur ?
En attendant je re-dérive le mic mac et te souhaite un bon dimanche

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zygomatique
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Re: Petite équation dans les N

par zygomatique » 17 Sep 2017, 10:31

salut

la fonction est affine

la fonction est exponentielle

or et donc

donc tout entier supérieur à 1 est solution


PS1 : une fonction exponentielle de base a > 1 croit extrêmement plus vite qu'une fonction affine

PS2 : si j'attaque à 1 c'est évidemment parce que 0 ne marche pas (calcul mental)


il est facile de montrer par récurrence

...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

LesPiedsDansLeSable
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Re: Petite équation dans les N

par LesPiedsDansLeSable » 17 Sep 2017, 11:05

Merci à vous chan et zyg, c'est vraiment le bonheur de tomber sur des gens comme vous dispo' et pas moqueur de ma scandaleuse ignorance.
Je vais essayer la récurrence je poserai ça par ici en cours de matinée, si l'envie vous prend d'y jeter un coup d'oeil :) ...

PS : comment faites vous pour éditer, insérer des lignes en typo math sur le forum ?

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zygomatique
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Re: Petite équation dans les N

par zygomatique » 17 Sep 2017, 11:15

il faut aller dans "répondre" et utiliser latex ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Lostounet
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Re: Petite équation dans les N

par Lostounet » 17 Sep 2017, 15:53

Salut,
Beaucoup de 'positive vibes' par ici ça fait plaisir de temps en temps!! Bienvenue sur maths-forum.

Concernant ton problème, il y a plusieurs angles d'attaque. Le problème n'est en soi pas difficile parce que déjà qualitativement le membre de droite 4^n augmente méga vite: pour n=3 4^3 vaut déjà 64 alors que
n+5/4 ne vaut que 4.25. (La situation serait bien plus délicate si par exemple tu avais à droite quelque chose qui augmente lentement puis diminue puis réaugmente etc...)

Donc si tu veux absolument faire une étude de fonction tu te retrouves avec du 4^x. C'est en soi pas une aberration (on peut) mais c'est trop compliqué au lycée.

Sinon, on peut utiliser la récurrence. Une idée ludique serait d'abord de se dire que (à justifier)
n + 5/4 < 1 + 3n (pour tout entier naturel n>1). Tu verras pourquoi je dis ça.

Ensuite on peut penser à l'inégalité de Bernoulli (google it! elle se prouve facilement par récurrence) stipulant que pour tout nombre x>-1 et n>1:




Si je prends x=3 j'obtiens


Mais on sait que 1+3n > n+5/4 pour tout n>1

Donc effectivement 4^n > n+5/4 dès que n>1
Maintenant si on est subtil on remarque qu'on a pas traité le cas n<=1. Ce n'est pas grave! On peut faire n=0 et n=1 à part pour conclure.

PS: va dans la section Guide d'utilisation du forum tu trouveras comment mettre des formules
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Re: Petite équation dans les N

par zygomatique » 17 Sep 2017, 20:43

à ce moment là on peut faire encore plus simple



;)
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Petite équation dans les N

par Lostounet » 17 Sep 2017, 23:09

zygomatique a écrit:à ce moment là on peut faire encore plus simple



;)


Et tu justifies comment ton 4n<4^n ? Il faut à un moment un argument de comparaison (récurrence ou bernoulli..)
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Re: Petite équation dans les N

par zygomatique » 18 Sep 2017, 19:23

parce qu'on le sait ... parce qu'on l'a déjà montré ... parce qu'un phénomène linéaire est négligeable par rapport à un phénomène exponentielle ...

maintenant si tu veux rentré dans les détails ::



évidemment puisque
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Petite équation dans les N

par Lostounet » 18 Sep 2017, 21:38

zygomatique a écrit:parce qu'on le sait ... parce qu'on l'a déjà montré ... parce qu'un phénomène linéaire est négligeable par rapport à un phénomène exponentielle ...


Oui mais.. dans ce cas on 'sait déjà' que n+5^4<4^n très rapidement. :p
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