Divisibilité

[Ncdk]

Bonjour,

Montrer que est divisible par 48 pour tout nombre premier

Je sais pas vraiment pas où commencer mais voila ce que j'ai fait, ça démarre peut-être bien mais le raisonnement arrive dans une impasse



p est un nombre premier et , donc p+1 est pair donc divisible par 2. Le problème revient à montrer que . Or p-1 est pair, par le même argument qu'avant, donc divisible par 2...

Je suis bloqué du coup, il est probable que soit peut-être vrai mais ne nous aide pas du tout.

[nodgim]

Essaye avec p = 3, puis p = 6k + 1 puis p = 6k -1.

[Ncdk]

Pourquoi ces 3 cas ?

[WillyCagnes]

bjr
p²-1 est divisible par 4!

p²-1 = (p-1)(p+1)

p-1, p et p+1 sont consécutifs: l'un d'entre eux au moins est un multiple de 3. Comme p est premier, ça n'est pas lui

De plus tout p>2 est impair, donc p-1 et p+1 sont pairs et l'un deux est un multiple de 4
Conclusion:
(p-1)(p+1) contient un facteur 3 et trois facteurs 2 (au moins) et donc est divisible par 3*2*2*2 = 24=4!

voir aussi la réponse de nodgim en passant
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9115

[aymanemaysae]

Bonjour ;

On peut seulement supposer que p est un nombre impair .

Soit

On a : ,

donc est divisible par .

Soit maintenant

1) Si donc et

donc et

donc

donc

donc est divisible par

donc est divisible par

2) Si donc et

donc et

donc et

donc

donc

donc est divisible par

donc est divisible par

Conclusion : est divisible par

[zygomatique]

salut

THE : le produit de n entiers consécutifs est multiple de n

DEM : la division euclidienne (on peut travailler avec des modulos pour aller plus vite)

donc p(p - 1)(p + 1) est évidemment multiple de 3 et de 2 (qui sont premiers entre eux donc de 6)

REM : un multiple de 3 et de 6 n'est pas toujours multiple de 18 :: EX : 12 !!!)

mais oublions ce facteur 2 pour l'instant ...

et il reste donc à montrer que est multiple de 16

p est impair donc p - 1 et p + 1 sont pairs et l'un est multiple de 4 puisqu'un pair sur deux est multiple de 4

il est donc évident que quelle que soit la situation est multiple de 16 puisqu'on a les situations et qui sont tous deux multiples de 16

(c'est même multiple de 32 une fois sur 2)

[Ben314]

Salut,
Juste un petit mot pour proposer un autre point de vue concernant le résultat mentionné par zygo ci dessus :
Le produit de n entiers naturels (non nuls) consécutifs, ça se présente sous la forme P=(a+1)(a+2)(a+3)...(a+n) que l'on peut l'écrire P=1x2x3x...x(a+n) / (1x2x3x...xa) = (a+n)! / a!
Or tout le monde sait que le coefficient binomial est un nombre entier et cela montre que le produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n!.

P.S. Et si on me demande comment on fait pour montrer que les coeff. binomiaux sont des entiers, ben il suffit d'utiliser (après l'avoir montré) la formule qui montre trivialement (par récurrence sur n) que