Dérivabilité

[harry12]

bonsoir je demande comment est ce qu'on peut déterminer la dérivée d'une fonction réciproque f^-1 sans connaitre l'expression de f^-1(x).
par exemple on a f(x)=cotan(x/2) définie sur ]0 pi[ on note sa réciproque h . montrez que h es dérivable sur [0 +infini[ et que h'(x)=-2/(1+x^2).
merci d'avance

[harry12]

ya quelqu'un svp

[FLBP]

Salut,

Je pense que tu ne peux pas, car sachant que :

Donc que :

On dirait qu'il faut connaitre pour atteindre sa dérivé.

Cordialement.

[harry12]

exactement et je sais pas comment faire sortir f^-1

[harry12]

svp

[Lostounet]

Soit y = cotan(x/2)
Sous réserve de définition:
y= 1/tan(x/2)

tan(x/2)=1/y

x/2=arctan(1/y)
x= 2 arctan(1/y)

donc si y = f(x)
x=f^(-1)(y) avec f^(-1)(y)=2arctan(1/y)

[FLBP]

Peut-être avec un développement en série entière :
soit f bijective avec




...



Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Tout le problème, c'est de savoir ce que ça veut dire de "connaitre" f^(-1). Certes, assez souvent, on n'a pas de "formule toute faite" qui donne l'expression de f^(-1) mais de là à dire qu'on ne "la connait pas", je trouve ça plutôt gonflé.
Au niveau géométrique, on connait parfaitement bien son graphe : c'est le même que celui de f que l'on lit "à l'envers", c'est à dire dans le sens y->x et pas x->y.
Et au niveau calculatoire, ben on sait que x=f^(-1)(y) ça équivaut à y=f(x) et donc que f(f^(-1)(y))=y.
Donc par exemple si f(x)=cotan(x)=cos(x)/sin(x), alors f'(x)=(-cos²(x)-sin²(x))/sin²(x)=-cotan²(x)-1=-f²(x)-1
donc f'(f^(-1)(y))=-f²(f^(-1)(y))-1=-y²-1 et ça signifie que (f(-1))'(y)=1/(-y²-1).

La seule chose à comprendre, c'est que si on veut que f'(f^(-1)(y)) soit "simple" à écrire, ça veut dire qu'il faut écrire f'(x) de façon "simple" par rapport à f(x) et pas de façon "simple" par rapport à x.

[aviateur]

Bonjour
Prends plutôt cet exemple définie sur R.

Je ne sais pas exprimer ainsi que sa dérivée avec des fonctions usuelles.