Liens entre les racines d'un polynôme de degré 2

[lolomaths]

Bonjour, je galère à trouver la solution, j'ai bien essayé de calculer "a" mais je reste bloqué à un moment du calcul

"On considère l’équation du second degré ax² - 13x + 3a = 0 où a est un paramètre réel non nul.Sachant qu’une des solutions à cette équation est 1/2, quelle est l’autre solution ? "

[FLBP]

Salut,
ça veut dire que ce polynôme est un multiple de :

[lolomaths]

salut FLBP, qu'est ce que ca veut dire, et il n'y a pas un moyen de calculer l'autre racine ?

[FLBP]

Oui, tu n'as qu'à faire une division Euclidienne par et faire en sorte que ton reste soit égal à 0 : ce qui te donneras et remplacer dans le quotient pour trouver la deuxième racine.

[lolomaths]

je comprends pas pourquoi on peut diviser le polynôme par x-1/2

[pascal16]

si un polynôme de degré 3 s'annule pour x=b, x=c et x=d, il s'écrit sous la forme :

a(x-b)(x-c)(x-d)

La démonstration se fait par division euclidienne de polynômes. Comme tu ne semble pas avoir encore travailler sur le polynôme formel comme groupe/anneau/corps, tu le verra plus tard (bien qu'un simple écriture fractionnaire niveau term suffit)

[infernaleur]

Sinon, tu peux utiliser ses deux résultats,

On note x1 et x2 les racines du polynôme ax²+bx+c .
On a :
x1*x2=c/a
x1+x2=-b/a

comme tu connais déjà une racine tu peux déterminer l'autre aisément.

[zygomatique]

salut

tout collégien ayant fait un peu de calcul littéral sait (en travaillant ce qu'on appelle ""la double distributivité"")

se rend vite compte qu'après développement du produit (x - a)(x - b) le résultat est ce qu'il appelle au lycée ""un trinome (du second degré)"" et qu'il peut donc admettre au plus deux racines

et que tout trinome qui admet une racine en admet deux ...

soit donc u la deuxième racine du trinome

on a donc

il suffit alors de développer et d'identifier ...


on remarquera qu'il y a un paramètre a et une inconnue u : pour déterminer u il est nécessaire d'avoir deux relations qui permettront d'obtenir a et u ... (s'il y a unicité de la solution : tous les trinomes s'annulent au même deux points)

en fait il y a théoriquement trois équations (mais j'en ai résolu une directement : la plus triviale)

dans le cas contraire u peut dépendre de a (dans son expression littéral car évidemment u dépend effectivement de a)

[Pseuda]

Bonsoir,

Encore une autre solution :

Tu sais que 1/2 est racine du polynôme : ax² - 13x + 3a = 0. Donc tu peux calculer la valeur de a (en remplaçant x par 1/2). Ensuite, c'est une factorisation classique d'un polynôme du 2nd degré pour trouver l'autre racine.

Mais la solution : produit des racines = 3a/a est plus rapide.

[zygomatique]

bien sur ... quand on la connait ...

si on connait, les formules somme et produit des racines donnent immédiatement la réponse

il est cependant toujours bon de savoir d'où proviennent ces formules (ce que je rappelle dans mon post précédent)

sinon le calcul de a pour x = -1/2 puis le calcul de u est aussi très rapide ...

la rapidité en concours est intéressante évidemment, mais durant l'apprentissage c'est la réflexion,la compréhension et l'appropriation des savoirs et savoirs-faire qui compte !!!


PS : c'est un exercice de seconde quand j'étais au lycée ...