Je finis donc mon raisonnement
On a vu qu'il existe au moins un nombre
tel que f est constante sur
Soit
le plus grand nombre vérifiant cette propriété (il existe sinon f serait constante).
En particulier il existe une suite
, qui tend vers
et vérifie
On fixe d'abord un tel
On a pour tout
:
On vérifie facilement que
On obtient alors pour tout
:
Le raisonnement précédent étant valable pour tout
on obtient par passage à la limite :
Pour tout
:
Ceci implique que sur un intervalle du type
f est constante (et est égale à
).
Cela contredit la définition de
et termine la preuve (que seules les fonctions constantes sont solutions).