Eq diff second ordre coefficients variables

[saintseya]

comment on peut résoudre eq 2nd ordre a coefficient non constant
j'ai vu des méthodes comme la méthode de la variation des deux constante
mais rien de concré.

si c possible résoudre ses exemple svp :
* y''+x^(2)y'-xy=4x
* xy''-y'+4x^(3)y=0

[MJoe]

Bonjour Saintseya et bonjour à tous,

Quelques éléments de réponse ici.
C'est assez calculatoire.

MJoe.

[aviateur]

Bonjour
Oui tu peux lire le lien donné par @M.Joe.
Pour du concret tu attaques tes exemples.
Je te donne des indications il suffit de faire les calculs.
Pour le 1. c'est clair que les coefficients sont polynomiaux donc on cherche un solution polynomiale et on trouve (sauf erreur) y(x)= a x-4. (autrement dit on a trouvé une solution particulière y=-4 augmentée d'une solution de base de l'équation homogène associée.) Pour trouver l'autre solution de base on fait varier la constante, i. e on pose y(x) =a(x) x- 4. On doit trouver une équation différentielle d'inconnue a(x) dont le terme d'ordre 0 est lacunaire. C'est à dire que en posant A(x)=a'(x) on sera ramené à résoudre une équation du premier ordre.
Je te laisse faire les calculs

[aviateur]

Pour la deuxième équation il n'y a pas de solution polynomiale. On peut chercher une solution développable en série entière.
On pose on remplace pour obtenir une relation de récurrence entre les coefficients Cela peut conduire à donner une solution ou toutes les solutions.
Là aussi faire les calculs