Matrices et applications linéaires

[luluv]

Bonsoir ! Je suis actuellement mis en position fœtale à cause d'un exercice de math, en voici l'énoncé, je préciserai au fur et à mesure ce qui me bloque et je n'écrirai pas les questions auxquelles j'ai déjà répondu, soit la moitié de l'exercice :



Bon, ici la première chose que j'ai pensé, c'est "erreur d'énoncé" car ne dépend pas de y et on veut l'égaliser avec un truc qui en dépend... mais bon, soit, ne tirons pas de conclusions hâtives et essayons, j'ai calculé d'abord , puis j'ai calculé en multipliant la matrice M par les vecteurs colonne de la base ... ce truc ne sort de nulle part, j'ai considéré que c'était la seule chose que pouvait représenter et bien entendu ça ne donne rien... qu'en pensez-vous ? est-ce bien une erreur d'énoncé, auquel cas ce devrait être ?? Ou bien est-ce moi qui est mal interprété quelque chose ???



la méthode classique est d'écrire la matrice , ce qui est assez facile : puis d'en calculer l'inverse... Mais j'en suis parfaitement incapable dans ce cas à cause des coefficients trop formels... Quelle méthode préconisez-vous alors ??

Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour
1. la première question n'a pas de sens.
2. L'inversion d'une matrice (2,2) est ce qui il y a de plus simple quelque soit la matrice même si elle est formelle.
C'est bien un des rare cas où l'on peut appliquer de façon pratique la formule


Mais ici on peut profiter quelle est triangulaire sup.
Donc l'inverse est triangulaire sup et la diagonale est constituée des inverses de la diagonale de P.
Finalement il n'y a qu'un terme à calculer que l'on peut trouver en écrivant que

De façon plus générale l'inverse de
et de la forme

En écrivant on trouvera bien une équation d'inconnue x.

(réponse x=-b/a)

[Pseuda]

Bonjour luluv,

Effectivement ne veut rien dire pour la norme euclidienne de , car est un couple de vecteurs, dépend de et , tandis que est indépendant de ces termes. Je verrais plutôt . D'ailleurs, cette égalité est bien vérifiée (calcul assez long).

Pour faire ce calcul, il n'y a pas besoin d'inverser la matrice de passage P de (e1,e2) à (v1,v2) ? Pour Y matrice de y dans la base (v1,v2), les coordonnées de y dans (e1,e2) sont données par PY. Les calculs doivent se faire dans une base orthonormée et (v1,v2) ne l'est pas, donc il faut les faire dans (e1,e2), c'est-à-dire calculer et à partir de leurs coordonnées dans (e1,e2).

[luluv]

Bonjour, merci de ta réponse @aviateur

Je n'ai pas vu les comatrices en cours, je ne sais pas les calculer sans ma calculette, du coup je vais rester sur la méthode qui se base sur le triangle supérieur... bien que je pense que je vais quand même m'intéressé de près aux comatrices, ça peut toujours servir au concours

C'est bien ce que je pensait pour la première... Mais au concours, on me demande de préciser sur ma copie si une question présente une erreur d'énoncé, d'expliquer pourquoi j'affirme cela, et de réagir en conséquence, en modifiant la question comme il faut. Peux tu alors me dire pourquoi tu penses que c'est faux à titre de comparaison ? Pour ma part, je pense que demander l'image d'une base est une question qui peut être posé, le résultat étant l'image de chaque vecteur de la base, mais ici c'est un non sens que de vouloir égaler une famille () avec un vecteur, je dois donc modifier l'énoncé pour avoir

Bonjour @Pseuda, merci de confirmer effectivement il n'y pas besoin ici de calculer l'inverse de la matrice de passage, c'est une question à part, mais pourquoi devrai-je forcément avoir une base orthonormée ici ??Changer de base pour la mettre dans la base canonique, c'est ce que l'on me demande de faire ça à la fin de l'exercice...

[Pseuda]

Bonjour @Pseuda, merci de confirmer effectivement il n'y pas besoin ici de calculer l'inverse de la matrice de passage, c'est une question à part, mais pourquoi devrai-je forcément avoir une base orthonormée ici ??Changer de base pour la mettre dans la base canonique, c'est ce que l'on me demande de faire ça à la fin de l'exercice...

Ah on n'a pas l'exercice complet. Oui, tu peux calculer effectivement et dans la base (v1,v2) (calcul plus simple certainement).

[luluv]

et non @Pseuda, je n'ai pas mis les question que je sais faire tout seul, c'est à base de calcul de produit scalaires, de normes, et de changement de base de la matrice de de l'application directe du cours en somme
...
Bah non, pas en somme, c'est du produit scalaire :troll:
Pardon

[Pseuda]

Il n'y a pas de mal, mais c'est vrai que voir l'exercice complet donne une vue d'ensemble, l'"état d'esprit".

Pour inverser une matrice à la main, on peut toujours (si l'envie nous en prend) résoudre à la main le système d'équations : , en écrivant les matrices et avec des coefficients littéraux (lettres). On obtient un système d'où il suffit d'extraire la matrice .

[luluv]

Bonjour, j'ai lu en diagonale un cours sur les comatrices, il en ressort qu'il y a une erreur (sans doute une faute frappe) dans la forme générale de la matrice inverse de @aviateur au niveau du x, c'est l'inverse

@Pseuda, as-tu vérifié que cette égalité est juste ?? car j'ai beau refaire mon calcul, avec différentes méthodes, je trouve que c'est faux, avec pourtant le même résultat à chaque échec, ça me laisse perplexe... Peut-être que je suis fatigué aussi, à force de faire des maths depuis ce matin ^^ je vais ré-essayer demain pour voir

[Pseuda]

Si cela peut t'aider, je trouve : , que ce soit en utilisant la base (e1,e2) ou bien la base (v1,v2). Attention, les vecteurs v1 et v2 sont normés mais pas orthogonaux.

Ce que propose @aviateur avec l'inverse d'une matrice 2x2, c'est la résolution d'une équation en .

[aviateur]

Bonsoir
Oui j'ai fait une erreur de copie la réponse est x=-a/b.
Pour inverser une matrice il n'y a une seule façon, il y a différentes méthodes. On emploie une méthode où une autre selon la matrice.
Ici, pour inverser cette matrice je profite de la situation facile où ici je n'ai qu'une inconnue x
En calculant P^(-1)*P on sait que l'on doit retrouver la matrice identité.
En particulier le coefficient ligne 1 colonne 2 vaut ax+b et celui de 0. D'où l'équation ax+b=0.

Sinon d'une manière générale la méthode la moins coûteuse en calcul est la méthode de Gauss (méthode par élimination) qui consiste en fait à résoudre le système AX=Y (dont la solution est X=A^(-1)Y).

C'est ici ce que l'on pouvait faire (cf@pseuda)

[luluv]

Arf, à cause de ça que sa coince, autant pour la norme de y j'ai ce qu'il faut, autant pour la norme de je n'ai pas les outils -,- Peux-tu m'expliquer la méthode générale pour calculer les normes et les produits scalaires dans des espaces non orthogonaux ?? je sais que je pourrai très bien conclure en passant dans la base "facile", ce que j'ai fait d'ailleurs, mais je ne suis pas noté, je cherche vraiment à m'exercé, et à apprendre de nouvelle méthodes, donc je veux réussir à démontrer cette égalité sans le changement de base !!!

[Pseuda]

Bonjour,

C'est très simple, il suffit de revenir à la définition du produit scalaire, en particulier forme bilinéaire et symétrique : , qu'il suffit d'appliquer en calculant dans la base (v1,v2).

Et eux-mêmes se calculent à partir des coordonnées des vecteurs v1 et v2 dans la base canonique de .

Pour info, espaces orthogonaux et non orthogonaux ne veut rien dire, tu veux certainement parler de bases orthogonales ou non orthogonales, orthonormées ou non orthonormées.

[luluv]

[quote="Pseuda"]Bonjour,

C'est très simple, il suffit de revenir à la définition du produit scalaire, en particulier forme bilinéaire et symétrique :

Comment ça ?? pour moi c'est à partir de là que je bloque ^^
Je me trompe quelque part ??

[Pseuda]

Bonjour,

C'est ça. Il n'y a plus qu'à terminer le calcul en calculant et en fonction de et . Il faut les calculer tôt ou tard (à partir de la matrice de dans la base .

On peut aussi commencer par calculer directement en fonction de et : (à partir de la matrice de dans la base , et des coordonnées de dans la même base) pour se débarrasser de .

Puis, , et on termine le calcul en développant et en réduisant, et en calculant , , et .

[luluv]

C'est étrange, je n'ai pas la même chose que toi en calculant , j'obtient plus un autre vecteur assez étrange :
As-tu une idée de ce que j'ai fait de travers ???

[Pseuda]

Bonjour,

??? Je pense que tu as dû faire tout en même temps : calcul de et passage dans la base . En fait pour calculer et , tu n'as pas besoin dans un 1er temps de passer dans la base , car la norme des vecteurs est indépendante de la base dans laquelle sont exprimées leurs coordonnées (heureusement !). Il est plus commode de commencer les calculs dans la base . Puis les résultats chiffrés se calculent à partir des coordonnées de et dans la base .

, donc

On obtient les coordonnées du vecteur dans la base .

[luluv]

Et bien je l'aurait fait sans m'en rendre compte ^^
mais n'y a-t'il pas une erreur quand tu écrit

?? ne sont pas les coordonnées d'un vecteur, mais des scalaire pour exprimer y en fonction de , je me trompe ??

[Pseuda]

mais n'y a-t'il pas une erreur quand tu écrit

?? ne sont pas les coordonnées d'un vecteur, mais des scalaire pour exprimer y en fonction de , je me trompe ??

Je ne vois pas trop la différence entre "les coordonnées d'un vecteur dans une base " et "les scalaires utilisés pour exprimer ce vecteur dans cette base". ???

Sinon, on représente un vecteur dans une base par une matrice colonne (matrice des composantes du vecteur dans la base), comme on représente une application linéaire dans une base ou deux bases (des ev de départ et d'arrivée) par une matrice nxp.

[luluv]

Ah... effectivement... tu n'as pas idée d'à quel point je me sens con :'D
bref tout fonctionne, merci beaucoup