Compacité des espaces métriques

[Murene]

Toujours au sujet du poly de Nier, ma bible du moment, depuis qq temps déjà, et plus spéciquement ce passage, que j'ai un peu de mal à suivre. Déjà, pourquoi "x appartient à A", et non pas l'adhérence de A?

[NicoTial]

Car A est une partie compacte. Donc, si je reprends la définition : Toute suite de points de A admet une valeur d'adhérence dans A. Donc x appartient bien à A.

[Murene]

Valeur d'adhérence c une caractériaation de existence point d'accumulation, autrement dit, ce que l'on doit montrer. Bref, pas convaincu par la réponse.

[Pseuda]

Bonjour,

Je vais essayer de rassembler mes souvenirs. A est compact, donc pour toute partie , on a : ?

La suite devient évidente : les ensembles fermés sont donc inclus dans A. D'après 3.1.3, la suite décroissante des fermés non vides est non vide, et comme ils sont tous inclus dans A, cette intersection est incluse dans A. Donc il existe dans cette intersection qui .
Sans garantie.

[arnaud32]

A etant compact il est ferme et donc egal a son adherence

[Murene]

Merci aux intervenants.

Pseuda: « A est compact, donc ...». Pourriez vous élaborer sur le "donc"?

Arnaud32:

La propriété 3.3.1 dit "Dans un espace topologique *séparé*, toute partie compacte est fermée" (et donc égale à son adhérence).

2 choses qui m'embêtent avec votre réponse:

1/ Cette propriété venant après le point qui fait l'objet de ma question, 3.2.1, si le poly est correctement structuré (ce dont je ne doute pas), elle ne devrait pas intervenir dans sa preuve

2/ 3.2.1 est certes formulé pour un espace métrique (X,d), donc séparé. Toutefois, la Remarque 3.2.4 dit que pour i)=>ii), qui est bien le sous-point qui fait l'objet de ma question, « on n'a pas besoin d'un espace métrique ».

[Pseuda]

Pseuda: « A est compact, donc ...». Pourriez vous élaborer sur le "donc"?

A est compact, donc A est fermé. Mais en effet, ça ne va pas, car cette propriété arrive après, en 3.3.1.

[samoufar]

Bonsoir,

Normalement, le "... de fermés non vides du compact A" une ligne au-dessus aurait déjà dû te perturber

Cependant, ici on considère l'adhérence dans A et non pas dans l'espace de départ. Autrement dit, on regarde pour chaque n le plus petit fermé de A contenant (qui existe car A est fermé dans A). Dès lors, est automatiquement inclus dans A.

[Murene]

Je vais réfléchir à la réponse de @samoufar. Faut déjà que je me remémore la question... En attendant, s'il voulait expliciter "...aurait dû te perturber".

[samoufar]

Les sont inclus dans , c'est pourquoi (par théorème puisque A est compact). C'est pourquoi je dis que ça devrait te perturber, puisque la question devient "pourquoi a-t-on cette inclusion ?" La réponse se trouve dans mon post précédent

[Murene]

@samoufar. Effectivement, toute la subtilité est dans "dans A" de "valeur d'adhérence de X_n dans A", qui ne peut être que dans A... C un début pour comprendre cette preuve assez subtile. En tout cas, merci!