Majoration de suite définie par une somme, Liaison TS-Sup

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Hehugo
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Majoration de suite définie par une somme, Liaison TS-Sup

par Hehugo » 24 Aoû 2017, 17:07

Bonjour à tous,

Je poste ma première question qui concerne un exercice qui me résiste depuis plusieurs jours et plusieurs têtes inutilement reposées y sont passées..
Alors voilà l'énoncé :
Soit (Un) la suite définie pour n>=1 par :
Un= 1/(1*2^1) + 1/(2*2^2) + 1/(3*2^3) + ... + 1/(n*2^n)

Question 1 : prouver que cette suite est croissante et majorée.
La suite, 2 : en déduire qu'elle converge vers l compris entre 1/2 et 1.

J'ai réussi à démontrer qu'elle croît en cherchant U(n+1)-Un>0 , mais je n'arrive pas à démontrer qu'elle est majorée (par 1 pour rédiger rapidement la question deux..). La récurrence m'amène, en partant de Un<1, à U(n+1) < 1 + 1/(n+1)*2^(n+1), ce qui ne prouve rien..
En encadrant la suite entre n fois le plus petit et n fois le plus grand terme, je trouve 1/2^n < Un< n/2, ce qui ne prouve pas la majoration non plus.
C'est donc là que j'ai besoin de votre précieuse aide, merci beaucoup !



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MJoe
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Re: Majoration de suite définie par une somme, Liaison TS-Su

par MJoe » 24 Aoû 2017, 17:29

Bonjour,

Question 1 :
La suite est une somme de termes positifs, elle est donc croissante.

Pour la majorer :


or on sait que la somme :
d'où :





La suite est donc majorée par 1.

Question 2 :
La suite est croissante et majorée elle converge donc vers une limite L.
On vient de montrer que la suite est majorée par 1 et cette suite est minorée par 1/2 (le premier terme vaut 1/2). On en déduit donc que 1/2 < L < 1.


MJoe ;)

Hehugo
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Re: Majoration de suite définie par une somme, Liaison TS-Su

par Hehugo » 24 Aoû 2017, 17:47

MJoe a écrit:Bonjour,

Question 1 :
La suite est une somme de termes positifs, elle est donc croissante.

Pour la majorer :


or on sait que la somme :
d'où :





La suite est donc majorée par 1.

Question 2 :
La suite est croissante et majorée elle converge donc vers une limite L.
On vient de montrer que la suite est majorée par 1 et cette suite est minorée par 1/2 (le premier terme vaut 1/2). On en déduit donc que 1/2 < L < 1.


MJoe ;)


Merci beaucoup, c'est très clair et compréhensible (et compris :D ) ! Plus qu'à rédiger, merci beaucoup encore une fois !

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MJoe
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Re: Majoration de suite définie par une somme, Liaison TS-Su

par MJoe » 24 Aoû 2017, 17:49

Merci à vous ;)

 

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