Une manière parmi d'autre.
A.t = tg(x) (colle déjà avec les bornes d'intégration) (avec x dans ]0 ; Pi/2[)
tg²(x) = A²t²
1 + tg²(x) = 1 + A²t²
1/cos²(x) = 1 + A²t²
cos²(x) = 1/(1 + A²t²)
sin²(x) = 1 - 1/(1 + A²t²)
sin²(x) = A²t²/(1 + A²t²)
b²sin²(x) + a².sin²(x) = b²A²t²/(1 + A²t²) + a²/(1 + A²t²)
b²sin²(x) + a².sin²(x) = (a²+b²A²t²)/(1 + A²t²)
***
dx/cos²(x) = A dt
dx = A . dt/(1+A²t²)
***
1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = V[(1 + A²t²)/(a²+b²A²t²)] * A/(1+A²t²) dt
1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V((a²+b²A²t²).(1+A²t²))] dt
1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V(A^4b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt
1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V(A².b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt
En posant 1/A = b -->
1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt
Et avec A.t = tg(x) : x = 0 --> t = 0 et x = Pi/2 --> t = +oo
-->
S(de0 à Pi/2) 1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = S(de0 à +oo) 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt