Intégration changement de variable

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coco7513
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Intégration changement de variable

par coco7513 » 21 Aoû 2017, 03:46

Bonsoir,

Il faut prouver que

J'ai pensé qu'il fallait faire un changement de variable du type t=tan(x/2) car on a les formule cosx=(1-t^2)/(1+t^2) et sinx=2t/(1+t^2) mais avec mes calculs ca ne donne rien...

Comme il y a + infini sur la borne de l'intégrale, je pense que ça pourrai être un changement de variable avec cos(x) au dénominateur peut-être...

J'ai besoin d'une piste si possible,

Merci d'avance pour vos réponses.



infernaleur
Membre Irrationnel
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Re: Intégration changement de variable

par infernaleur » 21 Aoû 2017, 04:01

Salut, cette année j'avais un devoir en sup qui traitais de cette intégrale et il me semble que le changement de variable était t=b*tan(x).
Je te laisse essayé ^^

aymanemaysae
Habitué(e)
Messages: 1265
Enregistré le: 06 Sep 2013, 16:21

Re: Intégration changement de variable

par aymanemaysae » 21 Aoû 2017, 05:25

Bonsoir ;



En posant : on a :



donc

donc , maintenant tu peux conclure .

Black Jack

Re: Intégration changement de variable

par Black Jack » 21 Aoû 2017, 09:04

Une manière parmi d'autre.

A.t = tg(x) (colle déjà avec les bornes d'intégration) (avec x dans ]0 ; Pi/2[)

tg²(x) = A²t²
1 + tg²(x) = 1 + A²t²
1/cos²(x) = 1 + A²t²
cos²(x) = 1/(1 + A²t²)

sin²(x) = 1 - 1/(1 + A²t²)
sin²(x) = A²t²/(1 + A²t²)

b²sin²(x) + a².sin²(x) = b²A²t²/(1 + A²t²) + a²/(1 + A²t²)

b²sin²(x) + a².sin²(x) = (a²+b²A²t²)/(1 + A²t²)
***

dx/cos²(x) = A dt
dx = A . dt/(1+A²t²)
***

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = V[(1 + A²t²)/(a²+b²A²t²)] * A/(1+A²t²) dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V((a²+b²A²t²).(1+A²t²))] dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V(A^4b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V(A².b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt

En posant 1/A = b -->

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt

Et avec A.t = tg(x) : x = 0 --> t = 0 et x = Pi/2 --> t = +oo

-->


S(de0 à Pi/2) 1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = S(de0 à +oo) 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt

8-)

coco7513
Membre Naturel
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Enregistré le: 25 Avr 2017, 22:04

Re: Intégration changement de variable

par coco7513 » 23 Aoû 2017, 01:24

Black Jack a écrit:Une manière parmi d'autre.

A.t = tg(x) (colle déjà avec les bornes d'intégration) (avec x dans ]0 ; Pi/2[)

tg²(x) = A²t²
1 + tg²(x) = 1 + A²t²
1/cos²(x) = 1 + A²t²
cos²(x) = 1/(1 + A²t²)

sin²(x) = 1 - 1/(1 + A²t²)
sin²(x) = A²t²/(1 + A²t²)

b²sin²(x) + a².sin²(x) = b²A²t²/(1 + A²t²) + a²/(1 + A²t²)

b²sin²(x) + a².sin²(x) = (a²+b²A²t²)/(1 + A²t²)
***

dx/cos²(x) = A dt
dx = A . dt/(1+A²t²)
***

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = V[(1 + A²t²)/(a²+b²A²t²)] * A/(1+A²t²) dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V((a²+b²A²t²).(1+A²t²))] dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = A/V(A^4b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V(A².b²(a²/(A²b²) + t²).(1/A² + t²))] dt

En posant 1/A = b -->

1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt

Et avec A.t = tg(x) : x = 0 --> t = 0 et x = Pi/2 --> t = +oo

-->


S(de0 à Pi/2) 1/[V(b²sin²(x) + a².sin²(x))] dx = S(de0 à +oo) 1/V((a² + t²).(b² + t²))] dt

8-)



Merci beaucoup pour ce beau calcul !

 

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