infernaleur a écrit:Bonsoir,
Pourriez vous m'aider pour cette exercice où je ne vois pas du tout comment faire ...
(ENS 2009)
Soit P∈R[X] de degré n>=1. On suppose que toutes les racines de P sont réelles.
Montrer que :
(n-1)(P'(x))²>=nP(x)P''(x)
Merci !
Salut Infernaleur,
Ce qui suit n'est qu'une première réflexion.
Le premier réflexe (le plus simple) que l'on pourrait avoir c'est essayer de voir ce qui se passe en chaque degré.
Le premier cas non trivial est n = 2. Soit P(X) = aX^2 + bX + c admettant deux racines réelles distinctes.
P'(X) = 2ax + b
P''(X) = 2a
Or on constate:
qui est positif du fait que les deux racines sont supposées réelles.
Si l'on se penche sur n = 3, en ayant acquis la propriété (n-1)(P'(x))²>=nP(x)P''(x) pour tout polynôme de degré 2, on se donne Q un polynôme du troisième degré.
Malheureusement, plus le degré monte et plus on a du mal à écrire en somme de coefficients explicites pour traduire l’hypothèse de n racines réelles. Partons plutôt de Q(X) = (x - a)(x - b)(x - c) un polynôme normalisé du 3e degré.
Q'(x) = (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) + (x - a)(x - b)
Q''(x) = (x - b) + (x - c) + (x - a) + (x - c) + (x - a) + (x - b)
Ces polynômes ressemblent beaucoup aux interpolateurs de Lagrange...
On peut d'ores et déjà appliquer l'inégalité à R = Q' qui est de degré 2 pour obtenir, R'^2 >= 2R*R''
ie (Q'')^2 - 2Q'*Q''' >= 0
Il faut maintenant prouver 2(Q')^2 - 3Q*Q''(x)>=0.
En dérivant deux fois, on retombe sur (Q'')^2 - 2Q' Q''' avec un terme nul en plus. Peut-être qu'une étude de variations peut permettre de remonter les variations jusqu'à cette fonction polynomiale (je vais regarder).
Une fois cela fait, on peut s'attaquer à une récurrence sur n si possible..