Polynôme

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

polynôme

par infernaleur » 19 Aoû 2017, 23:18

Bonsoir,
Pourriez vous m'aider pour cette exercice où je ne vois pas du tout comment faire ...
(ENS 2009)
Soit P∈R[X] de degré n>=1. On suppose que toutes les racines de P sont réelles.
Montrer que :
(n-1)(P'(x))²>=nP(x)P''(x)

Merci !



Razes
Membre Rationnel
Messages: 964
Enregistré le: 28 Juil 2014, 21:24

Re: polynôme

par Razes » 20 Aoû 2017, 01:46

Bonsoir,

Ceux-ci ne sont que des indices.

Si tu calcule cette dérivée: tu remarqueras que le numérateur a qlq chose de particulier.



L'autre idée est de faire intervenir les polynômes de Lagrange associés aux racines de

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: polynôme

par Lostounet » 20 Aoû 2017, 02:21

infernaleur a écrit:Bonsoir,
Pourriez vous m'aider pour cette exercice où je ne vois pas du tout comment faire ...
(ENS 2009)
Soit P∈R[X] de degré n>=1. On suppose que toutes les racines de P sont réelles.
Montrer que :
(n-1)(P'(x))²>=nP(x)P''(x)

Merci !


Salut Infernaleur,

Ce qui suit n'est qu'une première réflexion.
Le premier réflexe (le plus simple) que l'on pourrait avoir c'est essayer de voir ce qui se passe en chaque degré.

Le premier cas non trivial est n = 2. Soit P(X) = aX^2 + bX + c admettant deux racines réelles distinctes.

P'(X) = 2ax + b
P''(X) = 2a
Or on constate:
qui est positif du fait que les deux racines sont supposées réelles.

Si l'on se penche sur n = 3, en ayant acquis la propriété (n-1)(P'(x))²>=nP(x)P''(x) pour tout polynôme de degré 2, on se donne Q un polynôme du troisième degré.
Malheureusement, plus le degré monte et plus on a du mal à écrire en somme de coefficients explicites pour traduire l’hypothèse de n racines réelles. Partons plutôt de Q(X) = (x - a)(x - b)(x - c) un polynôme normalisé du 3e degré.

Q'(x) = (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) + (x - a)(x - b)

Q''(x) = (x - b) + (x - c) + (x - a) + (x - c) + (x - a) + (x - b)

Ces polynômes ressemblent beaucoup aux interpolateurs de Lagrange...
On peut d'ores et déjà appliquer l'inégalité à R = Q' qui est de degré 2 pour obtenir, R'^2 >= 2R*R''
ie (Q'')^2 - 2Q'*Q''' >= 0

Il faut maintenant prouver 2(Q')^2 - 3Q*Q''(x)>=0.

En dérivant deux fois, on retombe sur (Q'')^2 - 2Q' Q''' avec un terme nul en plus. Peut-être qu'une étude de variations peut permettre de remonter les variations jusqu'à cette fonction polynomiale (je vais regarder).

Une fois cela fait, on peut s'attaquer à une récurrence sur n si possible..
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

Re: polynôme

par infernaleur » 20 Aoû 2017, 02:49

Merci à vous deux pour vos informations !
Je vais essayé d'utiliser ce que vous m'avez dit et je reviendrais si je n'aboutis pas.

Kolis
Membre Relatif
Messages: 482
Enregistré le: 25 Sep 2015, 18:29

Re: polynôme

par Kolis » 20 Aoû 2017, 12:22

Bonjour !
Ton inégalité s'écrit : soit, en évitant les racines de ,

.
Le dernier terme est la dérivée de et il suffit de savoir que pour un polynôme scindé, de racines , distinctes ou non, on a
.
Sauf erreur, le problème se ramène donc à la relation de Cauchy-Schwarz :


Encore une fois il faut écrire ces relations sur les intervalles où ne s'annule pas.

infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

Re: polynôme

par infernaleur » 20 Aoû 2017, 16:23

Merci kolis pour ta réponse,
Mais je ne suis pas d’accord avec la dernière inégalité que tu obtiens.
Dans ton membre de droite d'où vient le carré au dénominateur ?
Et tu n'aurais pas du faire apparaître un signe négatif dans ton membre droite ? ( car tu considères -P'/P)
Sinon en effet sur les intervalles où P s'annule l’inégalité est évidente donc on peut se limiter à l'étude sur les intervalles où P ne s'annule pas, merci.

infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

Re: polynôme

par infernaleur » 20 Aoû 2017, 16:26

Ah pardon on considère la DÉRIVÉE de -P'/P donc on dérive encore une fois la relation que tu a mise sur -P'/P
(d'où l'apparition du - et du carré que je ne comprenais pas ^^) .
Donc c'est bon je suis d’accord avec ce que tu obtiens bien joué

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: polynôme

par Lostounet » 20 Aoû 2017, 17:10

Salut Kolis,
Que se passe-t-il quand on est sur un intervalle sur lequel P s'annule (dans ta solution) car je n'ai pas bien compris ce cas de figure?

Merci, en tout cas belle solution.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Kolis
Membre Relatif
Messages: 482
Enregistré le: 25 Sep 2015, 18:29

Re: polynôme

par Kolis » 20 Aoû 2017, 18:01

Bonjour @Lostounet : je ne comprends pas bien ta question !
Sur chaque intervalle où il n'y a pas de racines de P on a l'inégalité voulue et puisque P est continue l'inégalité reste vraie aux bornes de ces intervalles. Elle est donc vraie pour tout réel quand on remultiplie par P^2.
D'ailleurs, quand P est nul l'inégalité est évidente.

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: polynôme

par Lostounet » 20 Aoû 2017, 18:10

Effectivement, ... et c'est évident que c'est vrai quand P est nul.

Merci encore et jolie solution.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

Re: polynôme

par infernaleur » 20 Aoû 2017, 18:25

dernière chose (pour la rigueur) la formule de P'/P donnée par Kolis n'est pas vraie quand on a des racines multiples non ?

Razes
Membre Rationnel
Messages: 964
Enregistré le: 28 Juil 2014, 21:24

Re: polynôme

par Razes » 20 Aoû 2017, 23:45


Kolis
Membre Relatif
Messages: 482
Enregistré le: 25 Sep 2015, 18:29

Re: polynôme

par Kolis » 21 Aoû 2017, 00:15

@infernaleur qui dit :
"dernière chose (pour la rigueur) la formule de P'/P donnée par Kolis n'est pas vraie quand on a des racines multiples non ?"
Si, elle est correcte.
Soit tu écris ensemble des zéros, multiplicité de et alors :
.

Soit tu écris ( racines distinctes ou non) et tu as

.

C'est la même chose : dans la première écriture on regroupe les racines égales, chaque groupe contenant un nombre de termes égal à la multiplicité de la racine.

infernaleur
Membre Irrationnel
Messages: 1071
Enregistré le: 20 Avr 2017, 19:45

Re: polynôme

par infernaleur » 21 Aoû 2017, 03:05

d’accord merci !

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: polynôme

par Lostounet » 21 Aoû 2017, 17:29

Razes a écrit:Bonsoir,

Ceux-ci ne sont que des indices.

Si tu calcule cette dérivée: tu remarqueras que le numérateur a qlq chose de particulier.



L'autre idée est de faire intervenir les polynômes de Lagrange associés aux racines de


Salut Razes,
Pourrais-tu donner des indications pour travailler avec les interpolateurs?

Merci!
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
zygomatique
Habitué(e)
Messages: 6928
Enregistré le: 20 Mar 2014, 14:31

Re: polynôme

par zygomatique » 22 Aoû 2017, 14:44

salut

les racines du polynome P de degré n sont réelles donc ... à une constante multiplicative près que je peux prendre/rendre égale à 1 ...










damned ... je trouve le contraire ... :/
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Razes
Membre Rationnel
Messages: 964
Enregistré le: 28 Juil 2014, 21:24

Re: polynôme

par Razes » 22 Aoû 2017, 22:28

Bonjour zygomatique,

Ton calcul est bon à part un signe "-" en deuxième ligne:







Avatar de l’utilisateur
zygomatique
Habitué(e)
Messages: 6928
Enregistré le: 20 Mar 2014, 14:31

Re: polynôme

par zygomatique » 23 Aoû 2017, 00:10

oui bien sur la dérivée de 1/u fait apparaître un moins ...

toi aussi d'ailleurs : il me semble que le dernier résultat est -P'^2(x) + ....

zygomatique a écrit:salut

les racines du polynome P de degré n sont réelles donc ... à une constante multiplicative près que je peux prendre/rendre égale à 1 ...








et on en revient à ce que disait Kolis ... damned ...

on peut noter que ce deuxième facteur peut s'écrire où V et E sont la variance et la moyenne de la série 1/(x - a_i) ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 34 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite