Ecart sur l'écart-type

[ifebo]

bonjour

Aldo a les notes suivantes

7; 8; 10; 12; 12; 13; 15

Amusons nous à calculer MOY et Ecart type à la main puis à la calcu.

Main
MOY: (7+8+10+12+12+13+15)/7=77/7=11
Ecart type: (4+3+1+1+1+2+4)/7=16/7=2.28

Calcu FX92 Casio (qui est super):
moy: 11 OK
Ecart type: 2.6186 (noté sigmax) pas OK
C'est où que ça va pas?
Merci!!!

[cailloux1]

Bonjour,

L' écart type, c' est la racine carrée de la moyenne du carré des écarts!

[ifebo]

Alors là!
je croyais me souvenir: "l'écart type c'est la moyenne des écarts à la moyenne". C'est pas ça alors? Dommage parce que j'arrivais à me faire une vraie image de ce que cela signifiait....

Ecart moyen et écart-type: ce n'est pas pareil?


Alors: écart-type= racine carrée de la moyenne du carré des écarts:
carré des écarts: 16+9+1+1+1+4+16=48
moyenne des carrés des écarts: 48/7= 6,85
écart-type: 6.85^1/2= 2.61
OK. Merci
Mais dommage qu'il faille passer par les carrés des écarts. Je n'arrive pas à expliquer pourquoi. C'était plus simple avant.

[Lostounet]

Salut Ifebo,

Tu poses une question très pertinente.
Pourquoi on calcule la somme des carrés des écarts alors qu'on pourrait calculer juste la somme des valeurs absolues des écarts (ce que tu as fait).

Je me suis posé la question plusieurs fois par le passé. Il y a plusieurs raisons qui ont motivé ce choix arbitraire. Outre les raisons statistiques/de probas difficiles (moments d'ordre 2 de va, espace fonctionnel L2 ou non différentiabilité de la valeur absolue ), élever au carré permet de négliger les valeurs pas très loin de la moyenne en terme de dispersion et d'augmenter l'influence des valeurs loin de la moyenne.

Je vais calculer la somme des écarts à la moyenne (donc il faut diviser par l'effectif total pour obtenir la variance et prendre la racine pour l'écart type).
Exemple: des notes 10 10 10.5 9.5
Moyenne 10
Selon ta méthode, écart-type: 1

Selon la méthode des carrés: 0.5^2+0.5^2=0.5 (on pardonne plus facilement les petits écarts)

Autre exemple: 10 10 13 7
Moyenne 10
Selon ta méthode: 6
Selon la méthode des carrés: 18
Les écarts sont plus amplifiés quand on s'éloigne assez de la moyenne.

Mais bien entendu on peut bien débattre d'un tel choix du point de vue statistique si un statisticien/probabiliste veut bien nous répondre (Sylviel si tu nous lis).

Aussi une petite remarque concernant ta calculatrice: attention car des fois Casio calcule l'écart-type usuel mais il y a aussi un autre écart type (sample standard deviation ou population standard deviation). Il me semble que tu as confondu les deux dans ton poste initial (donc si tu refais le calcul avec Casio regarde bien et tu trouveras le "bon écart type" que tu cherches à calculer.

[MJoe]

Bonjour,

Merci Lostounet pour cette précision. J'avoue que je ne m'étais jamais posé la question mais bien sûr les écarts sont plus amplifiés quand on s'éloigne assez de la moyenne avec la moyenne des carrés.

MJoe.

[MJoe]

Salut Ifebo,

Aussi une petite remarque concernant ta calculatrice: attention car des fois Casio calcule l'écart-type usuel mais il y a aussi un autre écart type (sample standard deviation ou population standard deviation). Il me semble que tu as confondu les deux dans ton poste initial (donc si tu refais le calcul avec Casio regarde bien et tu trouveras le "bon écart type" que tu cherches à calculer.

Bonjour,
Voici une capture d'écran qui montre les 2 écarts types donnés par la calculatrice :



Le "bon" est celui encadré en orange.

MJoe.

[ifebo]

élever au carré permet de négliger les valeurs pas très loin de la moyenne en terme de dispersion et d'augmenter l'influence des valeurs loin de la moyenne.

Aussi une petite remarque concernant ta calculatrice: attention car des fois Casio calcule l'écart-type usuel mais il y a aussi un autre écart type (sample standard deviation ou population standard deviation)

Merci Lostounet:
en réfléchissant tout seul pourquoi l'écart type fait appel aux carrés, je m'étais dirigé vers la réponse que tu me fournis....

Pour la calcu, la casio propose en effet 2 E.T. comme tu le précises.
ET échantillon et ET Population. celui du post est ET échantillon et il correspond bien à la définition de l'écart type.

[ifebo]

Salut Ifebo,
le "bon" est celui encadré en orange.
MJoe.

Merci!

[Lostounet]

D'ailleurs si on préfère calculer des moyennes de séries plutôt que des écarts, on peut mettre à profit le théorème de König-Huyghens (un des bienfaits d'avoir utilisé les carrés des écarts??) pour calculer la variance à l'aide de la série des carrés des valeurs:

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... konig.html