Espace vectoriel, matrice, rang, dimension

[Paul1908]

Bonjour,

J'ai un DM sur les grandes vacances, et un grand exo portant sur les bases des espaces vectoriels (j'entends par là les choses basiques à savoir, pas la base d'un e.v) et j'ai beaucoup de mal, ce qui m'inquiète pour la passage en deuxième année...

Voilà l'exo :
On pose v1 = (1,−2,3,4) , v2 = (−1,0,5,2), v3 = (1,−4,11,10), v4 = (2,2,1,−2), v5 = (2,0,9,4).
Déterminer le rang de F = (v1,v2,v3,v4,v5). Quelle est la dimension de F = Vect(F)? En donner une base B formée d’éléments de F, et déterminer l’expression dans cette base des vecteurs de F \B.

Pour calculer le rang, j'ai fait ma matrice échelonnée,
A =
1 -1 1 2 2
0 1 1 -3 -2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
et je compte le nombre de ligne où il n'y a pas que des 0 en l'occurence il y en à 3, donc le rang est de 3, jusque là ça va..
Ensuite on me demande la dimension de F = Vect(F), j'ai une famille libre car un 0 dans chaque vecteur (ne sont pas colinéaires) donc c'est égal au rang donc la dim de F est 3
Mais après je bloque on me demande une base B formée des éléments de F et là je vois pas du tout..

Merci d'avance pour vos réponses !

[pascal16]

tu prends 3 vecteurs non liés parmi tes 5 vecteurs

[edit] corrigé

[Paul1908]

Pourquoi est ce que je dois en prendre 4 sachant que la dimension de F est 3...?
Et comment déterminer l’expression dans cette base des vecteurs de F \B

[pascal16]

inverse matrice de passage ?

[Paul1908]

Je ne vous suis plus..
Il faut d'abord que j'écrive la matrice de passage puis que je l'inverse, et là j'obtiens trois vecteurs non liés..
Pourquoi est ce que ça me donnerai une base des vecteurs de F\B ??

On me dit determiner l'expression dans cette base des vecteurs de F\B ?
Est ce que je dois pas prendre les deux vecteurs qui me restaient dans la matrice de A et les exprimer en fonction des trois qui forme ma base..?

Merci beaucoup

[pascal16]

si mes souvenirs son bons, la matrice obtenue avec les vecteurs que tu as choisi donne les coordonnées des vecteurs dans l'ancienne base. Il te faut l'inverser pour trouver les coordonnées de l'ancienne base dans la nouvelle.

[Pseuda]

Bonjour,

Tu sais que le rang de la matrice que forment les vecteurs qui engendrent F, est 3. Donc F est de dimension 3. Il faut donc chercher 3 vecteurs de F qui forment une base, soit 3 vecteurs libres.

On a : v1+v2=v3, donc la famille (v1, v2, v3) est liée et n'est pas une base de F. Par contre, (v1,v2,v4) est libre, donc c'est une base.

Maintenant, il s'agit d'exprimer les vecteurs v1,v2,v3,v4,v5 dans la base (v1,v2,v4) :
v1=1.v1
v2=1.v2
v3=1.v1+1.v2 (vu plus haut)
v4=...
v5=...

[Paul1908]

Mais je ne dois pas choisir trois vecteurs de ma matrice échelonnée que j'ai trouvé ?
Vous parlez de v1 v2 v3.. comme les vecteurs de la matrice que j'ai écrite ou les vecteurs de la matrice trouvée ?

[Pseuda]

Je parle de v1,v2,v3 comme des vecteurs donnés dans l'énoncé.

La matrice échelonnée n'a servi qu'à trouver le rang des vecteurs, et donc la dimension de F. Elle a donné des combinaisons linéaires des vecteurs v1 à v5, mais d'après l'énoncé, on veut une base de F prise dans les vecteurs de l'énoncé v1 à v5.