Complexes : Ensembles de points

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Sulaheia

Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 14 Aoû 2017, 17:27

Bonjour,

J'ai l'énoncé suivant :
"déterminer l'ensemble de points dont l'affixe z vérifie : |2z − i| = 1"

J'essaye de répondre à la question par 2 méthodes différentes, je ne sais pas si ça s'y prête ici :

Par le calcul : on arrive à l'équation de cercle x²+(y-1/2)² = 1/4, super.
Géométriquement, en raisonnant avec les distances, j'ai une explication approximative :
les points d'affixe 2z, c'est cercle de centre (0;1) et de rayon 1,
du coup les points d'affixe z, c'est le cercle de centre (0; 1/2) et de rayon 1/2. Ce résultat me paraît logique mais est-ce suffisant comme explication ? Puis-je le justifier plus rigoureusement (sans faire le calcul de la méthode précédente) ?

Merci !



cailloux1
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Re: Complexes : Ensembles de points

par cailloux1 » 14 Aoû 2017, 17:34

Bonjour,



Si on appelle le point d' affixe et celui d' affixe , cela revient à écrire:



:)

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 14 Aoû 2017, 17:38

Ha ouais, il me semblait bien qu'on pouvait faire ça géométriquement, et c'est mieux que mon explication pourrie. Merci !

cailloux1
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Re: Complexes : Ensembles de points

par cailloux1 » 14 Aoû 2017, 17:40

De rien Sulaheia :)

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Re: Complexes : Ensembles de points

par zygomatique » 14 Aoû 2017, 21:23

salut

par le calcul le cours de première contient l'équation d'un cercle donc permet de conclure comme tu l'as fait en invoquant ce cours

évidemment une démonstration géométrique c'est beaucoup plus fin et presque toujours plus rapide ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 15 Aoû 2017, 08:44

Oui, tu as raison, c'est mieux.

Ok, du coup j'essaye de faire un cas un peu plus marrant. Si vous avez le temps vous pouvez me dire si je me plante svp ?



Je prends donc les points A (2/3) et B(-3i), et je dis 3AM = BM ?

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Re: Complexes : Ensembles de points

par cailloux1 » 15 Aoû 2017, 09:24

Voui! :)

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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 15 Aoû 2017, 11:10

Bonjour @Sulaheia et bonjour à tous,

Dans ton dernier exemple, l'ensemble des points M qui conviennent sont sur le cercle de centre et de rayon .

Voici un graphique sur Geogebra :

Image

MJoe.

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 15 Aoû 2017, 12:46

Salut MJoe,
Effectivement il faut poursuivre le raisonnement pour répondre vraiment à la question. Je tombais bien sur ce cercle avec la méthode par le calcul.
Mais si je reste en méthode géométrique : j'ai 3AM = BM, comment je conclus qu'on a ce cercle ?
Moi j'ai qu'un seul réflexe c'est de revenir au calcul (je fais ce que je sais faire :) ), mais dans ce cas c'est aussi simple de partir directement sur le calcul et j'ai servi à rien avec mon raisonnement géométrique.

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Re: Complexes : Ensembles de points

par zygomatique » 15 Aoû 2017, 13:11

soit G le barycentre des points (A, 3) et (B, 1) et H le barycentre des points (A, 3) et (B, -1)



<=> M appartient au cercle de diamètre [GH] ...

;)
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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 15 Aoû 2017, 17:18

Bonjour à tous,

On peut rester effectivement en approche géométrique.
J'ai trouvé les coordonnées suivantes : G(1/2 ; -3/4) et H(1 ; 3/2). Je les ai placés sur la figure suivante :
Remarque : Dans ce cas précis, quelle est l'approche la plus "calculatoire" ?

Image

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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 15 Aoû 2017, 18:25

Bonjour à tous,

J'ai fait une petite animation pour visualiser le fait que 3AK = BK lorsque le point mobile K se déplace sur le cercle de centre E (M est fixe et K est mobile).

Image

[Edit] : Voir le petit tutoriel ci-après pour la réalisation de cette image animée au format "gif".


MJoe.
Modifié en dernier par MJoe le 16 Aoû 2017, 18:05, modifié 1 fois.

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 15 Aoû 2017, 23:23

Ho, les barycentres ! J'avais oublié leur existence (petit moment de nostalgie :)).
Bon je les ai pas revu dans les bouquins récents les pauvres, je crois qu'ils se sont fait exclure du programme de lycée (ils reviendront peut être ?).
Mais c'est parfait, ça me fait une occasion de m'y remettre ! Merci beaucoup !

@MJoe : c'est super sympa de faire des petits dessins sur geogebra, ça me rappelle que j'utilise pas souvent les curseurs et animations alors que c'est vraiment top. Il faut que je prenne le réflexe de jouer avec ces fonctionnalités.

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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 16 Aoû 2017, 11:57

Bonjour,

Sur Geogebra, je m'y suis remis depuis peu et je trouve les animations assez "parlantes".
Si cela intéresse les internautes, je veux bien créer un petit didacticiel pour montrer comment faire une animation au format "gif" (donc facilement insérables dans un post sur un forum).

MJoe.

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 16 Aoû 2017, 14:12

@MJoe - Oui si tu as le courage ce serait cool de faire un petit tuto.

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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 16 Aoû 2017, 17:46

Tutoriel : Comment créer une image animée avec Geogebra

Voici un petit tutoriel pour la réalisation de l'image animée de mon post ci-avant. Il s'agit de faire "bouger" le point K sur le cercle à l'aide d'un curseur (ce curseur peut être actionné à la souris ou à l'aide des flèches droite ou gauche).

Etape 1 : Création du curseur

Image

On saisit les paramètres suivants :
Dans l'onglet "Basique" j'ai saisi "a2" comme nom de la variable "curseur" c'est-à-dire la variable qui sera utilisée pour faire varier le point K sur le cercle.

Image

Etape 2 : Création du point K, point mobile sur le cercle :

Dans la zone de saisie tout en bas à gauche, j'ai écrit : K = E +(r ; a2°)
Ce qui signifie : K est égal à E + le point de coordonnées polaires : r = rayon et a2° = l'angle en degrés.
r est le rayon du cercle rouge. Lorsque le paramètre a2 changera de valeur, le point K changera de position.
Remarque : c'est très confortable de définir des points ainsi !

Un exemple de position du point K avec a2 = 120 °
Image

Etape 3 : Création de l'image animée
On sélectionne la partie du graphique que l'on veut exporter (en étirant un rectangle "bleu clair" à la souris) puis on utilise le menu : Fichier/Exporter/Graphique en Gif animé...
Image

Les derniers réglages :

Image

Curseur : il s'agit du curseur qui génèrera l'image animée. Ici c'est le curseur a2 puisque l'on veut faire varier K.
Temps entre les vues : je pense qu'il faut laisser 500 ms.
Boucle : cocher pour que l'image animée "tourne en boucle".

Remarque concernant la taille de l'image animée :
Geogébra crée une image par valeur d'incrément (ici 20°) en allant de a2(mini), ici 0°, à a2(maxi), ici 360°. Ce qui fait 19 images et un fichier "gif" de 500 Ko environ.
Bien sûr, plus l'incrément est petit et plus la taille du fichier "gif" est grande.

MJoe.

Sulaheia

Re: Complexes : Ensembles de points

par Sulaheia » 17 Aoû 2017, 08:17

Super, je savais pas que cette fonctionnalité était incluse dans geogebra. Je vais essayer ! :)

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Re: Complexes : Ensembles de points

par MJoe » 17 Aoû 2017, 18:05

Bonjour,

Depuis la version 5.x de Geogebra, il y a un module 3D.
On peut dessiner des plans et des droites dans l'espace. Voici un petit exemple d'intersection d'un plan et de 2 droites D et D1 sur ce forum : Vecteur Géométrie.

MJoe.

 

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