Système d'équation trigonométrique

[julien_4230]

Bonjour à tous.

Soit à résoudre :

Sin a + Sin b = racine(3/2)
Cos a + Cos b = racine(1/2)

Trouver a et b.

Mis-à-part utiliser 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2), j'ai fait ça :

cos²b + sin²b = 1.
<=> (racine(3/2) - sin a)² + (racine(1/2) - cos a)² = 1.
<=> 1 - racine(3/2) sina - racine(1/2) cosa = 0.
<=> racine(2) - racine(3) sina = cosa = racine(1 - sin²a)
<=> 2 + 3sin²a - 2racine(6) sina = 1 - sin²a
<=> 2sin²a - racine(6)sina + 1/2 = 0

on trouve : sin a = (racine6 +- racine2)/4 et on en tire a.

enfin : sin b = racine(3/2) - sin a = racine(3/2) - (racine6 +- racine2)/4 et on en tire b.

On trouve que si a = 1.309, b = 0.262 et réciproquement.

PROBLEME : quand on remplace dans l'équation du consinus pour vérifier, on ne trouve pas racine(1/2). Pourquoi ?????

Merci de m'aider un peu...

[samah]

voilà un petit indice
tu mets les 2 equations au carré et tu ajoutes l'une à l'autre

[julien_4230]

Oui je sais, mais pourquoi ma méthode ne fonctionne pas ?
Ce serait parce que les fonctions cos et sin ne sont pas inductives, mais dans quelle ligne de mon calcul ça se fait ressentir ?

Merci beaucoup !

[mathelot]

voilà un petit indice
tu mets les 2 equations au carré et tu ajoutes l'une à l'autre

samah a indiqué comment calculer cos(a-b).

c'est simple, car il y a deux 2
qui se simplifient et .

[julien_4230]

Je sais cette méthode, mais je voulais essayer une autre à la barbare pour rigoler, et je m'apperçois que cette méthode ne fonctionne pas, et mon but ici est de savoir pourquoi.
Ce serait parce que cos et sin sont non injectives, mais où ça se fait ressentir dans mon calcul s'il vous plaît ?

Merci!

[mathelot]

Dans le style de ce qu'a écrit Julien , je vous propose, for fun,
le système:



calculer cos(a),sin(a),cos(b),sin(b).

[julien_4230]

Je ne vois pas où est l'erreur dans mon calcul... Peut-être qu'on ne peut pas écrire la première ligne...

[mathelot]

PROBLEME : quand on remplace dans l'équation du consinus pour vérifier, on ne trouve pas racine(1/2). Pourquoi ?????

Merci de m'aider un peu...

quand on élève au carré, on introduit des solutions parasites
qui ne sont pas solutions du système initial.

[julien_4230]

quand on élève au carré, on introduit des solutions parasites
qui ne sont pas solutions du système initial.

Ah tiens, mais pourquoi ? Parce que la fonction ² n'est pas injective sur IR ?

[mathelot]

Ah tiens, mais pourquoi ? Parce que la fonction ² n'est pas injective sur IR ?

oui...................

[julien_4230]

oui...................

Donc se retrouver avec une équation au second ordre en sin²a implique la fausseté de l'équation... Cette méthode est alors une sorte de justification algébrique sur la non injection de la fonction ². Pour moi, c'est même une démonstration.

[oscar]

Bonjour


Voir exercice présenté en 1er lieu( pour se distraire.........!)

[Razes]

Posons:
Nous avons aussi:

Donc:
(1)



Donc on peut déduire que: (2)
On a donc: .

On peut conclure que et sont solutions de l'équation: ; Avec :




Donc:

[chan79]

Donc:

salut
avec k=k'=0, la somme des cosinus ne fait pas
voir avec

[Razes]

Effectivement, merci pour la remarque:

C'est plutôt:





Donc:

[Razes]

On va essayer de résoudre l’exercice à la façon de julien_4230 , mais seulement la 1ère partie, car la suite ne permet pas de trouver et sans passer par le calcul de la valeur de leurs et .







Donc, il y a deux solutions ( et jouant un rôle symétrique):
1)
2)

Pour vérification. Tu dois injecter ces deux solutions pour calculer et confirmer le résultat.

Désole, je n'ai pas vue ce post datait de il y a un mois.

[chan79]

pour visualiser les résultats (points rouges)

[zygomatique]

salut



on élève au carré les deux égalités et on les additionne :

on exprime b en fonction de a et on remplace dans l'une des équations ...

[NicoTial]

Désole, je n'ai pas vue ce post datait de il y a un mois.

Ce sujet ne date pas d'il y a un mois... mais de 9 ans et 1 mois...

[zygomatique]

on élève au carré les deux égalités et on les additionne :

on exprime b en fonction de a et on remplace dans l'une des équations ...

on multiplie membre à membre ces deux égalités :







il permet de cogiter un peu ...