Une innégalité

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infernaleur
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une innégalité

par infernaleur » 15 Aoû 2017, 21:00

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour cette exo :
---------------------------------------------------------------------
Soient a,b >0 deux nombres réels tels que a^3*b^2=1 montrer que (1+a)(2+b)>=6
L’énoncé indique qu'il faut utiliser l’inégalité arithmético-géométrique
------------------------------------------------------------------------
Donc (x+y)/2 >=racine (xy)
pour x =a^3 et y=b^2:

(a^3 + b^2)/2 >= 1
a^3+b^2 -2 >=0

et la je bloque ....
Merci de votre aide



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Re: une innégalité

par Lostounet » 15 Aoû 2017, 22:30

Salut,
Je n'ai pas utilisé AM GM. Mais j'y réfléchirai. Voici une méthode bourrine:

Si on extrait a: a=1/b^(2/3)

On veut prouver donc que
b-4+2/b^(2/3) + b^(1/3)>=0

ie b^(5/3) - 4b^(2/3) + 2 + b >=0

Soit x= b^(1/3)
x^5 - 4x^2 + x^3 + 2 = (x-1)^2(x^3+2x^2+4x+2) >= 0
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Re: une innégalité

par Lostounet » 15 Aoû 2017, 22:38

Peut-être en splittant comme suit:
b-4+2a + ab

moyenne arithmétique(b/2, b/2, 2a/3, 2a/3,2a/3)> Geom(8a^3b^2)/108)

Il faut aussi inclure le ab dans ceci.
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infernaleur
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Re: une innégalité

par infernaleur » 15 Aoû 2017, 22:46

Lostounet a écrit:Salut,
Je n'ai pas utilisé AM GM. Mais j'y réfléchirai. Voici une méthode bourrine:

Si on extrait a: a=1/b^(2/3)

On veut prouver donc que
b-4+2/b^(2/3) + b^(1/3)>=0

ie b^(5/3) - 4b^(2/3) + 2 + b >=0

Soit x= b^(1/3)
x^5 - 4x^2 + x^3 + 2 = (x-1)^2(x^3+2x^2+4x+2) >= 0


Ok bien joué ^^

infernaleur
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Re: une innégalité

par infernaleur » 15 Aoû 2017, 22:48

Lostounet a écrit:Peut-être en splittant comme suit:
b-4+2a + ab

moyenne arithmétique(b/2, b/2, 2a/3, 2a/3,2a/3)> Geom(8a^3b^2)/108)

Il faut aussi inclure le ab dans ceci.


je n'ai pas compris le passage en gras

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Re: une innégalité

par Lostounet » 16 Aoû 2017, 00:04

Par AM-GM, j'envisage un truc comme ça:

(x1+x2+...+x^6)/6 > (x1*x2..x6)^(1/6)

donc:
(b/2+b/2+ 2a/3+2a/3 +2a/3 + ab)/6 >(( 8b^2a^3 ×ab )/108)^(1/6)

donc b+2a + ab > 6×2^(1/6)× (ab)^(1/6) /27^(1/6)

Mais (ab)^2=1/a donc ab= 1/a^(1/2)

Donc b+ 2a + ab - 4 > 6× 2^(1/6) × 1/a^(1/12)/27^(1/6) - 4

On est censé trouver que le membre de droite est > 0 mais j'y suis pas encore...

Je recommence avec b+ 2a seulement qui aboutit à:

(b/2+b/2+2a/3+2a/3+2a/3)/5 >( 2/27)^(1/5)

Donc b+2a > (2/27)^(1/5)
Cela veut dire que, comme ab=1/a^(1/2)
On ajoute ab-4 aux deux membres:

2a+b + ab - 4 > (2/27)^(1/5) + 1/a^(1/2) - 4
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aymanemaysae
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Re: une innégalité

par aymanemaysae » 16 Aoû 2017, 10:57

Bonjour ;

On a :

On a aussi :

donc

donc

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Re: une innégalité

par Lostounet » 16 Aoû 2017, 12:17

Bravo Ayman je m'étais compliqué la vie pour rien.
Il suffisait de couper b+a+a+ab je suis vraiment bête.
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infernaleur
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Re: une innégalité

par infernaleur » 16 Aoû 2017, 14:28

bien joué aymanemaysae et merci !

aymanemaysae
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Re: une innégalité

par aymanemaysae » 16 Aoû 2017, 15:37

De rien.

 

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