Entier premier de la forme 4q+1 et somme des carrés

[babahamda]

Est-ce que tous entier impair de la forme 4q+1 est la somme de deux carrés?
c-à-d si p=4q+1 est un entier premier alors il existe deux entiers a et b tels que p=a²+b²

[pascal16]

pour q=2 ou 5, tu trouves quoi comme valeur de a et b ?

[WillyCagnes]

bsr
3²+0²=4x2+1
3²+2²=4x3+1=13 premier
3²+4²=4x6+1
3²+8²=4x18=73 premier

4²+5²=4x10+1=41 premier

[pascal16]

pour q=5
4*5+1=21

21-0²=21
21-1²=20
21-2²=17
21-3²=12
21-4²=5
je ne vois pas de solutions

[babahamda]

les entiers premiers de la forme 4q+1 <100 sont:
5=1²+2²;13=2²+3²;17=1²+4²;29=2²+5²;37=1²+6²;41=4²+5²;53=2²+7²;
61=5²+6²;73=3²+8²;89=5²+8²;97=4²+9²

[MJoe]

pour q=5
4*5+1=21

21-0²=21
21-1²=20
21-2²=17
21-3²=12
21-4²=5
je ne vois pas de solutions

Bonjour,
Pour q = 5 ou q= 6, p=4q+1 n'est pas premier (cela fait 21 ou 25).

MJoe.

[pascal16]

ok, j'avais pas vu qu'en second ligne, le nombre impair devenait premier

[babahamda]

on cherche pas les (4q+1) non premiers. ma question c'est si on choisit q de tel façon que (4q+1) soit premier (ex pour q=1 ou q=3 ou q=4....) existe -t-il toujours deux entiers a et b tels que : 4q+1=a²+b²

[Lostounet]

C'est le théorème des deux carrés de Fermat...Stipulant que a et b existent toujours (sous réserve des bonnes hypothèses) et que la décomposition est unique.

[MJoe]

on cherche pas les (4q+1) non premiers. ma question c'est si on choisit q de tel façon que (4q+1) soit premier (ex pour q=1 ou q=3 ou q=4....) existe -t-il toujours deux entiers a et b tels que : 4q+1=a²+b²

Bonjour,
Pour paraphraser @Lostounet, oui a et b existent toujours et sont uniques.
Tous les détails sur ce théorème de Fermat.

MJoe.