Probabilités - Enigme du remplacement des 5 kiwis

[LeQuatre]

Bonjour à tous !
C'est le premier message que je poste sur ce forum car j'ai un soucis ... qui m'empêche de dormir. J'espère que vous pourrez me donner un coup de main s'il vous plaît !!

Voilà, il y a 5 kiwis dans une coupe. Chaque jour j'en mange un et je le remplace par un kiwi frais ... au bout de combien de jours j'aurai mangé tous les kiwis de départ ??

C'est une énigme que ma mère m'avait posée il y a quelques temps et dont je viens de me souvenir.

J'ai regardé un peu les lois traditionnelles de proba, le dénombrement avec remise et tout mais je n'arrive pas du tout à trouver ne serait-ce qu'une estimation ...

Ca me perturbe là !

Si quelqu'un a une idée, je suis preneur !

Merci beaucoup pour m'avoir lu. A bientot

LeQuatre

[LeQuatre]

Bon, j'ai trouvé ma solution ... pour ceux que cela intéresse, c'était tout simplement un tirage avec remise.
La formule est sur wikipedia, je détaillerai si vous demandez (pour info, remplacer les 5 kiwis d'origine en 5 jours n'a que 3,84 % de chances de se produire).

Bonne nuit

[MJoe]

Bonjour,

Effectivement, manger un kiwi le jour N° 1 a une probabilité de 5/5 = 1
Le jour N° 2 : p2 = 4 / 5 (5 car on a ajouté un kiwi)
Le jour N° 3 : p3 = 3 / 5
N° 4 : p4 = 2/5 et Jour N° 5 : p5 = 1/5
La probabilité de manger les 5 kiwis de départ en cinq jours est égale à : 5/5*4/5*3/5*2/5*1/5 = 0,0384
Soit 3,84 %

Mais cela a très peu de chance d'arriver.
A la question : "combien faut-il de jours, en moyenne, pour arriver à manger les 5 kiwis de départ ?", j'ai trouvé 11,4 jours en moyenne.
On ne peut effectivement que parler de moyenne car certains y arriveront en 5 jours, d'autres en 6, etc.

Merci pour cette énigme qui est simple à énoncer et assez compliquée à résoudre.
MJoe.

[beagle]

ce serait utile de calculer la probabilité de manger un kiwi pas frais,
parce que je sais pas si c'est une bonne gestion de la coupe à fruits cet exo!

[Arbre]

Bonjour,

@MJoe : je ne suis pas d'accord avec ton calcul :
jour 1 ok.
Jour 2 ok.
Jour 3 on peut avoir 3/5 ou 4/5 (si on avait retiré le kiwi qui venait d'être posé), ton raisonnement ne fonctionne pas.

Bonne journée.

[Arbre]

Au bout de combien de jours tu auras mangé les Kiwi de départs, c'est à dire quand est-ce la proba d'avoir mangé tout les kiwis est denscendu en dessous de 1/1000 (pour fixé les choses).

[Arbre]

J'ai fait le calcul il faut compter 39 jours pour cela, et pour 5 jours on retombe sur la même proba que MJoe, je trouve cela étrange.

[Pseuda]

@MJoe : je ne suis pas d'accord avec ton calcul :
jour 1 ok.
Jour 2 ok.
Jour 3 on peut avoir 3/5 ou 4/5 (si on avait retiré le kiwi qui venait d'être posé), ton raisonnement ne fonctionne pas.

Bonjour,

??? Si on mange le kiwi qui vient d'être posé, on ne peut pas manger les 5 kiwis d'origine en 5 jours. Et pourquoi cela ne pourrait pas se produire dès le 2ème jour ?

[zygomatique]

salut

soit la variable aléatoire égale au nombre de kiwis d'origine au jour n

on a et puisque le premier jour on mange évidemment un kiwi d'origine




ouais bof ...

bon on faire facilement une simulation de 1 000 000 d'essais où on néglige les cas où on dépasse 1 000 jours (car ça me semble négligeable)

Code: Tout sélectionner

For i = 5 To 1000
  j(i) = 0
For n = 1 To 1 000 000
  k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = k(5) = 0
  s = 0
  While k(1)k(2)k(3)k(4)k(5) = 0 and s < 1 000 Do
       i = alea(1, .., 5)
       k(i) = 1
       s = s + 1
  j(s) = j(s) + 1
m = 0
For n = 5 To  1000
  m = m + nj(n)
Write m/1 000 000

bien entendu la moyenne est légèrement supérieure puisque la classe contenant J >= 1000 est ramené à j = 1000 ... mais je ne pense pas que ça influence énormément ...

[Arbre]

Bonjour,

??? Si on mange le kiwi qui vient d'être posé, on ne peut pas manger les 5 kiwis d'origine en 5 jours. Et pourquoi cela ne pourrait pas se produire dès le 2ème jour ?

Oui, où ai-je dit le contraire ?

[MJoe]

Bonjour à tous,

Pour @Arbre et @Pseuda et pour tout le monde également :
Je me suis mal exprimé. Si j'ai bien compris l'énoncé de LeQuatre, notre ami peut manger les 5 kiwis "O" ("O" pour kiwis d'Origine) en 5 jours. Il suffit pour cela qu'il tire un kiwi "O" chaque jour.
Mais cela peut également lui prendre 6 jours ou 7, 8, etc. Cela dépend du tirage qu'il fera chaque jour. Il faut donc parler de moyenne, donc de combien de jours, en moyenne, faut-il attendre pour manger tous les kiwis "O".
A chaque fois qu'un kiwi est tiré, il est remplacé par un kiwi "F" ("F" comme frais).

Revenons maintenant au cas de la probabilité de tirer 5 kiwis "O" en 5 jours. Si on dessine un arbre pondéré, on obtient :
Tirage 1 (jour 1) : 5/5 (effectivement, il n'y a que des kiwis "O")
Tirage 2 (jour 2) : 4/5 (car il ne reste plus que 4 kiwis "O")
Tirage 3 (jour 3) : 3/5 (car il ne reste que 3 kiwis "O")
N'oubliez pas qu'il s'agit de calculer la probabilité de tirer les 5 kiwis "O" en 5 jours et pas plus. Dans ce cas (et seulement dans ce cas) notre ami doit tirer un kiwi "O" par jour sinon il n'aura pas tout tiré en 5 jours.
Tirage 4 (jour 4) : 2/5 (il reste 2 kiwis "O")
Tirage 5 (jour 5) : 1/5 (il ne reste plus qu'un seul kiwi "O")

On s'arrête là car on étudie uniquement le cas où tout se passe en 5 jours. Notre ami ne peut pas tirer autre chose que des kiwis "O" à chaque tirage sinon 5 jours ne lui suffiraient pas.
Finalement, la probabilité de tirer les 5 kiwis "O" en 5 jours est égale à : 5/5*4/5*3/5*2/5*1/5 = 0,0384

Je pense qu'il faudra attendre 11,4 jours en moyenne (résultat arrondi au dixième).

[MJoe]

Bonjour à tous,

Voici un petit programme Scilab qui permet d'approcher la solution. Si je nomme (E) l'expérience aléatoire qui consiste à tirer un kiwi au hasard tant que tous les kiwis "O" n'ont pas été tirés et à noter le nombre p de tirages qui ont été nécessaires. Je répète 100 000 fois l'expérience (E) et j'obtiens Nk le nombre total de tirages qui ont été nécessaires (la somme des "p" de chaque expérience (E)). La moyenne Nm qui vaut Nk/100 000.
Voici donc le code source Scilab :

Code: Tout sélectionner

N = 100000
Nk = 0

for i = 1:N
    K = ones(1,5)
    p = 0
    while sum(K) <> 0
        p = p + 1
        j = int(5*rand() + 1)
        if K(1,j) == 1 then
            K(1,j) = 0
        end
    end
    Nk = Nk + p
end

printf("Nombre moyen Nm = : %0.3f",Nk/N)


En espérant que cela pourra servir à quelqu'un.
MJoe.

[MJoe]

Bonjour à tous,

Pour celles et ceux qui préfèrent le langage Python, voici le code qui permet d'afficher l'histogramme des fréquences (en abscisses ce sont les nombres de tirages nécessaires pour l'expérience aléatoire (E)).
Voici donc le code source Python :

Code: Tout sélectionner

import numpy as np
from random import uniform
import matplotlib.pyplot as plt

N = 70000
Nk = 0
Nj = [0]*101
Ni = np.linspace(0,101,101)

for i in range(1,N+1) :
    K = [1]*5
    p = 0
    while sum(K) != 0 :
        p = p + 1
        j = int(5*uniform(0,1) + 1)
        if K[j-1] == 1 :
            K[j-1] = 0

    Nk = Nk + p
    if p < 101 :
        Nj[p] = Nj[p] + 1

print("Nombre moyen Nm = ",Nk/N)
FNj = [u/N for u in Nj]
plt.bar(Ni,FNj,align ='center', width = 0.7, color = 'r')
plt.show()


Et l'histogramme des fréquences (que c'est beau !! )


En abscisse : le nombre de tirages effectués (ou nombre de jours) pour réaliser (E) (donc tirer les 5 kiwis "O")
En ordonnée : la fréquence Nk/N pour chaque nombre en abscisse.

On remarque qu'au delà de 45 jours, on peut considérer que tous les kiwis "O" ont été tirés.
A l'abscisse 5 (5 jours), on obtient bien une valeur proche de 0,038 (proche de 0,04 sur le graphique).

[Arbre]

Bonjour,

@MJoe : ok, tu m'as convaincu.

Bonne journée.

[Pseuda]

Bonjour,

Cela ressemble beaucoup à une courbe de loi binomiale. Mais ce n'en est pas une car la loi binomiale est à valeurs bornées. On doit pouvoir calculer facilement la probabilité d'avoir mangé les 5 kiwis en n jours, pour n>=5.

[Arbre]

C'est une chaîne de Markov à 32 états.

[Arbre]

Un petit défi qui sait calculer la proba en 100 jours de manger tout les kiwis, avec au départ 10 kiwi ?

Sans-utiliser un super calculateur...lol

[MJoe]

Bonjour à tous,

Mea-culpa ! Je me rends compte que j'ai transformé, sans le vouloir, l'énigme de notre ami LeQuatre.
Il a bien écrit "au bout de combien de jours j'aurai mangé tous les kiwis de départ ?" et il n'a pas parlé de nombre de jours moyen. Il faut donc revoir l'approche et calculer la probabilité de n'avoir plus de kiwis de type "O" au nème jour.
J'ai donc calculé la probabilité de l'évènement Fn : "Il ne reste plus de kiwis de type "O" au bout du tirage numéro n (ou au bout du nème jour)"
Par exemple, F(5) = 0,0384 ce qui signifie que la probabilité de ne plus avoir de kiwis de type "O" en seulement 5 tirages est égale à 0,0384
F(6) = 0,1152 correspond à la probabilité de ne plus avoir de kiwis de type "O" en seulement 6 tirages.
F(7) = 0,21504, etc.
Bien sûr, lim F(n) = 1 lorsque n tend vers l'infini.
Voici les valeurs de la matrice F(n) pour n allant de 0 à 38 :

Code: Tout sélectionner

         column  1 to 12
 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.0384    0.1152    0.21504    0.32256    0.4270694    0.5225472    0.6063636 
 
         column 13 to 21
 
    0.6780027    0.7381157    0.7879072    0.8287693    0.8620793    0.8891010    0.9109429    0.9285515    0.9427194 
 
         column 22 to 30
 
    0.9541025    0.9632381    0.9705642    0.9764355    0.9811390    0.9849055    0.9879210    0.9903347    0.9922666 
 
         column 31 to 39
 
    0.9938125    0.9950496    0.9960394    0.9968314    0.9974650    0.9979719    0.9983775    0.9987020    0.9989616 


A partir des valeurs calculées, on peut dire qu'à partir du 28ème jour, on est sûr à 99 % d'avoir mangé tous les kiwis car F(29) = 0,9903347
Je dois faire un scan d'un schéma pour vous expliquer comment j'ai fait.

J'ai nommé les probabilités des évènements A, B, C , D, E et F dont les définitions sont les suivantes :
A(n) : "Probabilité d'obtenir 5 kiwis de type "O" au bout de n jours"
B(n) : "Probabilité d'obtenir 4 kiwis de type "O" au bout de n jours"
C(n) : "Probabilité d'obtenir 3 kiwis de type "O" au bout de n jours"
D(n) : "Probabilité d'obtenir 2 kiwis de type "O" au bout de n jours"
E(n) : "Probabilité d'obtenir 1 kiwis de type "O" au bout de n jours"
F(n) : "Probabilité d'obtenir 0 kiwis de type "O" au bout de n jours"

A(0) = 1, B(0) = 0 , C(0) = 0, D(0) = 0, E(0) = 0 et F(0) = 0
On a les relations de récurrence suivantes (voir schéma ci-après) :
A(n+1) = 0*A(n)
B(n+1) = 1/5*B(n) + A(n)
C(n+1) = 2/5*C(n) +4/5*B(n)
D(n+1) = 3/5*D(n) + 3/5*C(n)
E(n+1) = 4/5*E(n) + 2/5*D(n)
F(n+1) = F(n) + 1/5*E(n)

Voici le schéma scanné (excusez la qualité moyenne du scan )

[Arbre]

@MJoe oui c'est mieux avec 5 états seulement, j'en avais mis 27 de trop.

Et par là même tu as résolu mon petit défi : bravo.

[MJoe]

Méthode pour obtenir les expressions des probabilités A(n), B(n), ..., F(n) en fonction de n :
Si on pose :

et

On a la relation suivante :


On en déduit alors la relation ci-dessous :


Ensuite, pour déterminer la puissance nème de la matrice K, il faut commencer par la diagonaliser. Les valeurs propres sont 0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 et 1.
On a l'égalité : dans une base où :
- P est la matrice de passage dans cette base ;
- D est la matrice diagonale constituée des valeurs propres.
Finalement :


On obtient donc les expressions des probabilités A(n), B(n), ..., F(n) en fonction de n


Pour ceux qui veulent tester, voici le programme Scilab :

Code: Tout sélectionner

N = 100

A = zeros(1,N)
B = zeros(1,N)
C = zeros(1,N)
D = zeros(1,N)
E = zeros(1,N)
F = zeros(1,N)
S = zeros(1,N)
//
A(1,1) = 1

for i=1:N-1
    A(1,i+1) = 0*A(1,i)
    B(1,i+1) = 1/5*B(1,i) + A(1,i)
    C(1,i+1) = 2/5*C(1,i) +4/5*B(1,i)
    D(1,i+1) = 3/5*D(1,i) + 3/5*C(1,i)
    E(1,i+1) = 4/5*E(1,i) + 2/5*D(1,i)
    F(1,i+1) = F(1,i) + 1/5*E(1,i)   
end


printf("Valeur de ma matrice F :")
disp(F)


et les 100 premières valeurs de la matrice F :

Code: Tout sélectionner

Valeur de ma matrice F :
 
         column  1 to 12
 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.0384    0.1152    0.21504    0.32256    0.4270694    0.5225472    0.6063636 
 
         column 13 to 21
 
    0.6780027    0.7381157    0.7879072    0.8287693    0.8620793    0.8891010    0.9109429    0.9285515    0.9427194 
 
         column 22 to 30
 
    0.9541025    0.9632381    0.9705642    0.9764355    0.9811390    0.9849055    0.9879210    0.9903347    0.9922666 
 
         column 31 to 39
 
    0.9938125    0.9950496    0.9960394    0.9968314    0.9974650    0.9979719    0.9983775    0.9987020    0.9989616 
 
         column 40 to 48
 
    0.9991693    0.9993354    0.9994683    0.9995747    0.9996597    0.9997278    0.9997822    0.9998258    0.9998606 
 
         column 49 to 57
 
    0.9998885    0.9999108    0.9999286    0.9999429    0.9999543    0.9999635    0.9999708    0.9999766    0.9999813 
 
         column 58 to 66
 
    0.9999850    0.9999880    0.9999904    0.9999923    0.9999939    0.9999951    0.9999961    0.9999969    0.9999975 
 
         column 67 to 75
 
    0.9999980    0.9999984    0.9999987    0.9999990    0.9999992    0.9999993    0.9999995    0.9999996    0.9999997 
 
         column 76 to 84
 
    0.9999997    0.9999998    0.9999998    0.9999999    0.9999999    0.9999999    0.9999999    0.9999999    1.0000000 
 
         column 85 to 93
 
    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000 
 
         column  94 to 100
 
    1.    1.    1.    1.    1.    1.    1.


Question 1 : aurez-vous encore envie de manger des kiwis après avoir lu tout ça ?
Question 2 : maintenant lorsque vous verrez une coupe de fruits avec des kiwis, choisirez-vous un kiwi ?

MJoe