PPCM avec puissance

[mehdi-128]

Bonjour,

J'aimerais déterminer :

Je sais que 3 et 7 sont premiers entre eux mais la puissance me gêne j'aimerais utiliser :

avec

Merci.

[beagle]

ben si tu l'aimes ta formule, pourquoi tu ne t'en sers pas?

[infernaleur]

une petite propriété intéressante que tu pourrais essayer de démontrer et qui va te servir :
Si PGCD(a,b)=1 on a PGCD(a^n , b^m)=1 pour tout n,m entiers naturels.

[pascal16]

on a aussi PPCM(a,b)*PGCD(a,b)=ab

un PPCM de deux nombres doit être multiple de de l'un et de l'autre, si on passe par la décomposition en facteurs premiers, le résultat est simple.

[mehdi-128]

une petite propriété intéressante que tu pourrais essayer de démontrer et qui va te servir :
Si PGCD(a,b)=1 on a PGCD(a^n , b^m)=1 pour tout n,m entiers naturels.

Oui en effet ! Montrer que si et a et b sont premiers entre eux alors a^n et b^m sont premiers entre eux.

Bah c'est évident en faire si par exemple : et



Cette fraction ne peut pas se simplifier

[mehdi-128]

ben si tu l'aimes ta formule, pourquoi tu ne t'en sers pas?

SI je m'en sers mais faudrait montrer que et sont premiers entre eux.

[beagle]

je ne sais pas ce dont tu as le droit d'utiliser = ton point de départ
mais si 7^3 = 3k
alors 7x7x7 = 3k
donc 3 divise 7 ou bien 7 ou bien 7

[mehdi-128]

je ne sais pas ce dont tu as le droit d'utiliser = ton point de départ
mais si 7^3 = 3k
alors 7x7x7 = 3k
donc 3 divise 7 ou bien 7 ou bien 7

C'est quoi votre 3k ?

[beagle]

je ne sais pas ce dont tu as le droit d'utiliser = ton point de départ
mais si 7^3 = 3k
alors 7x7x7 = 3k
donc 3 divise 7 ou bien 7 ou bien 7

C'est quoi votre 3k ?

on prend comme hypothèse que 7^3 est un multiple de 3.
Mais bon je ne sais pas où démarre tes leçons, je ne sais pas d'où tu dois partir donc c'est peut-être pas comme cela.
Et si c'est un multiple de 3, alors 3 premier doit diviser un des facteurs de 7^3 ...

[infernaleur]

ben si tu l'aimes ta formule, pourquoi tu ne t'en sers pas?

SI je m'en sers mais faudrait montrer que et sont premiers entre eux.

Bha avec la propriété que j'ai citer au dessus tu le montre facilement

[mehdi-128]

je ne sais pas ce dont tu as le droit d'utiliser = ton point de départ
mais si 7^3 = 3k
alors 7x7x7 = 3k
donc 3 divise 7 ou bien 7 ou bien 7

Ah oui j'ai compris maintenant on obtient une contradiction donc c'est faux bien vu !

[mehdi-128]

une petite propriété intéressante que tu pourrais essayer de démontrer et qui va te servir :
Si PGCD(a,b)=1 on a PGCD(a^n , b^m)=1 pour tout n,m entiers naturels.

J'ai pas réussi à la démontrer, j'ai essayé Bezout.

[infernaleur]

tu peux montrer d’abord que :
1/ Si PGCD(a,b)=1 et PGCD(a,c)=1 alors PGCD(a,bc)=1 en utilisant Bézout.
2/ Puis par récurrence tu montre la propriété

[Lostounet]

ben si tu l'aimes ta formule, pourquoi tu ne t'en sers pas?

SI je m'en sers mais faudrait montrer que et sont premiers entre eux.

Salut,

Il y a quand même un certain problème dans l'aspect 'qualitatif'. C'est comme si tu ne "voyais pas" que c'est totalement évident que 7^3 est premier avec 3^4.

On sait que 7 et 3 sont deux nombres premiers. Cela veut dire que si tu as N=7^3 et M=3^4 c'est que M et N sont écrits comme produit de facteurs premiers.

Les diviseurs de N sont: 1, 7, 7^2 et 7^3
Les diviseurs de M sont: 1, 3, 3^2 et 3^4

Le plus grand diviseur en commun entre M et N est 1. Il y en a aucun autre!

Le plus petit nombre qui soit multiple de N et de M simultanément ben ya pas beaucoup de choix, c'est un nombre qui doit être multiple à la fois de 7^3 et de 3^4. Sachant que 7^3 et 3^4 n'ont rien du tout en commun... Il faut donc les multiplier pour avoir un multiple commun.


Je te donne un autre exemple. Considère les deux nombres P= 24 et Q = 16
Décompose en produit de facteurs premiers:
P=2^3×3
Q=2^4

Les diviseurs de P sont: 1, 2, 3, 2^2, 2^3, 6, 12 et 24
Les diviseurs de Q sont: 1, 2, 2^2, 2^3 et 2^4

Le plus grand diviseur commun à P et Q est PGCD=2^3

Ça se lit directement sur la décomposition en produit de facteurs premiers...

[mehdi-128]

tu peux montrer d’abord que :
1/ Si PGCD(a,b)=1 et PGCD(a,c)=1 alors PGCD(a,bc)=1 en utilisant Bézout.
2/ Puis par récurrence tu montre la propriété

C'est une récurrence double ? Vu qu'on a n et m ...

[mehdi-128]

ben si tu l'aimes ta formule, pourquoi tu ne t'en sers pas?

SI je m'en sers mais faudrait montrer que et sont premiers entre eux.

Salut,

Il y a quand même un certain problème dans l'aspect 'qualitatif'. C'est comme si tu ne "voyais pas" que c'est totalement évident que 7^3 est premier avec 3^4.

On sait que 7 et 3 sont deux nombres premiers. Cela veut dire que si tu as N=7^3 et M=3^4 c'est que M et N sont écrits comme produit de facteurs premiers.

Les diviseurs de N sont: 1, 7, 7^2 et 7^3
Les diviseurs de M sont: 1, 3, 3^2 et 3^4

Le plus grand diviseur en commun entre M et N est 1. Il y en a aucun autre!

Le plus petit nombre qui soit multiple de N et de M simultanément ben ya pas beaucoup de choix, c'est un nombre qui doit être multiple à la fois de 7^3 et de 3^4. Sachant que 7^3 et 3^4 n'ont rien du tout en commun... Il faut donc les multiplier pour avoir un multiple commun.


Je te donne un autre exemple. Considère les deux nombres P= 24 et Q = 16
Décompose en produit de facteurs premiers:
P=2^3×3
Q=2^4

Les diviseurs de P sont: 1, 2, 3, 2^2, 2^3, 6, 12 et 24
Les diviseurs de Q sont: 1, 2, 2^2, 2^3 et 2^4

Le plus grand diviseur commun à P et Q est PGCD=2^3

Ça se lit directement sur la décomposition en produit de facteurs premiers...

J'ai compris merci !

[zygomatique]

salut

soit p et q deux nombres premiers, m et n deux entiers et et

les diviseurs de sont les puissances de p inférieures à lui-même
les diviseurs de sont les puissances de q inférieures à lui-même

pet q étant premiers aucune puissance de p ne divise une puissance de q et réciproquement

donc le pgcd de toute puissance de p et de toute puissance de q est 1

...