Convergence

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ariel60
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Convergence

par ariel60 » 17 Juil 2017, 22:54

Bonjour,
J'ai à étudier la convergence simple et la convergence uniforme de:


Merci infiniment pour votre aide
Modifié en dernier par ariel60 le 18 Juil 2017, 08:54, modifié 3 fois.



pascal16
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Re: Convergence

par pascal16 » 17 Juil 2017, 23:25

pour la seconde
tu peux minorer et majorer le haut facilement (en valeur absolue) , le bas est du type n², donc tu peux majorer par du 1/n² qui converge. Elle est absolument convergente, donc convergente.

pour le première, on a du mal à lire ce qui est en bas

ariel60
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Re: Convergence

par ariel60 » 18 Juil 2017, 09:05

Bonjour,
J'ai modifié le premier message
Pour la seconde série j'ai trouvé qu'elle ne converge pas simplement sur R puisque le sin n'a pas de limite quand n tend vers l'infini
Pour la première j'ai trouvé que arctg(nx-1) tend vers pi/2 alors la série converge simplement vers 0 sur R

aviateur
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Re: Convergence

par aviateur » 18 Juil 2017, 11:12

Bonjour
On suit les indications de @pascal16

Pour tout x dans et on a :



et la série de TG et convergente.

Donc la série converge (normalement sur R) donc uniformément sur R. (c'est ce qu'il y a de mieux)

pascal16
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Re: Convergence

par pascal16 » 18 Juil 2017, 15:10

petite remarque pour la seconde, comme en plus elle contient des terme positifs et négatifs, la convergence est encore plus rapide que 1/n²

pour la première, de toute façon, quand n augmente, le numérateur tend vers -pi/2, pi/2 ou arctan(-1)
donc la majoration à la louche, la convergence absolue donneront le même résultat

il reste à étudier la série de terme général 1/(n(ln(n))²), ce qui n'est pas gagné
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Bertrand

ariel60
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Re: Convergence

par ariel60 » 18 Juil 2017, 17:15

Merci beaucoup pour votre réponse;
Si une série de fonctions converge uniformément sur R alors elle a forcément une convergence simple sur R?
Cordialement

aviateur
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Re: Convergence

par aviateur » 19 Juil 2017, 08:21

Bien entendu CVU sur R implique CVS sur R

et d'ailleurs CVN implique CVU implique CVS

 

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