Une inégalité difficile?

[aviateur]

Bonjour

Voici une inégalité qui me semble bien difficile à démontrer.

Soit vérifiant

Démontrer que



Bravo à celui qui trouvera une démonstration.

[Lostounet]

Salut,

Les multiplicateurs de Lagrange n'aboutissent pas?
(Optimisation sous contrainte)

[aviateur]

Bonjour @lostounet.
Evidemment, j'ai déjà essayé.
Les multiplicateurs conduisent à des calculs difficiles.

[Lostounet]

Déjà on montre que (AM-GM) xyz<1/3...
Cauchy-Schwarz donne évidemment rien.

As-tu des indications à me proposer? Ou bien tu as d'autres pistes en tête.

[aviateur]

@Rebonjour Lostounet.
D'abord cet exercice je ne sais pas le faire. Et puis c'est une version "duale" d'un exercice posé sur un autre forum où tout le monde sèche.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1484510

Tu verras que c'est le même problème en appliquant Cauchy-Schwarz à leur problème.
i.e x1=(a^3/(a+b))1/2 ; x2 = (b^3/(b+c))1/2 ; x3 = (c^3/(c+a))1/2 et y1=(a^3(a+b))1/2 ; y2 = etc ....
Leur problème de minimum devient maintenant équivalent à un problème de maximum.
C'est à dire :
sous la contrainte a^3+b^3+c^3=3, a,b,c positifs démontrer que

Le problème tel que je l'ai posé ici est absolument analogue sauf que j'ai fait un changement d'échelle.

D'abord j'ai vérifié numériquement que l'inégalité est vraie. Elle est atteinte en (a,b,c)=(1,1,1).

Ensuite j'essaie la méthode suivante (qui doit être je pense équivalente à la méthode des multiplicateurs):

J'appelle S la surface d'équation a^3+b^3+c^3-3=0.

Le vecteur gradient de la surface est à un facteur près (a^2,b^2,c^2). Autrement dit
les vecteurs u_1=(b^2,-a^2,0) et u_2=(c^2,0,-a^2) forme une base du plan tangent à S au point
x_0=(a,b,c).
Je considère f_1(h)=g(x_0+h u_1) et f_2(h)=g(x_0+h u_2) et on a un point critique (un point avec extremum
local) ssi f_1'(0)=f_2'(0)=0.
J'ai donc un extremum à l'intersection des trois surfaces S, et celles d'équation f_1'(0)=0 et f_2'(0).
Le problème avec ce genre de méthode c'est que l'on croit que ça marche bien mais en général c'est incalculatoire.
J'ai donc poursuivi malgré tout les calculs. Les trois équations sont des équations polynomiales, j'ai donc avec Bezout (ou plus simplement avec la méthode des résultants, matrice de Sylvester) j'ai donc calculé les valeurs de c où il y a un point critique.
(Calculs fait avec un logiciel car trop long).
Les point critiques sont connus si je trouve les solutions c dans [0,3^(1/3)] du polynôme résultant final P(c)=0
qui est de degré 225. Bien sûr je trouve c=1 ->(a,b,c)=1.
Mais le problème c'est qu'il y a d'autres points critiques qui correspondent à des minimums et que je ne peux pas calculer exactement. Donc c'est foutu. Cette méthode aurait marché si les minimum avaient été aux bords de la surface.
En fait sur math.net, ils ont trouvé le sujet sur un site étranger où le gars est spécialisé dans les inéquations.
Mais là aussi il n'y a pas de réponses.
L'intérêt dans ce genre de problème c'est que quelqu'un peut trouver une solution avec des connaissances élémentaires.
Mais en tout cas visiblement c'est un problème difficile.
C'est bien une enigme!!

[Arbre]

Bonjour,

J'ai re-pris l'astuce de Yves donc il suffit de prouver :

(i)

on prend :
Elle atteint son max pour ( solution positive) pour


Pour que les 3 atteignent le max, il suffit que




comme solution positive on a
L'inégalité (transformé (i)) est fausse

[Arbre]

inégalité fausse, on prend :

a=5.95987/6, b=a+0.01, c=a+0.01
Alors on voit que pour a dans l'intervalle

g(a,b,c)>0 et

[Arbre]

pour prendre des valeurs exacts prendre :

[aviateur]

@arbre.
Quelqu'un qui va lire le message va croire que tu as apporté la solution
L'inégalité du forum que j'ai cité est d'abord une minoration et toi tu démontres le contraire.

[Arbre]

J'ai pris l'inégalité d'origine, et avec cette valeur on a , alors qu'on devrait avoir


Et oui, j'espère bien avoir apporté la solution.

édit : il y a quelque chose qui cloche la-dedans, alors j'y retourne.

[aviateur]

@arbre Soit clair
Il y a l'inégalité du forum mat.net qui est une minoration.
Il y a la mienne qui est équivalent et qui est une majoration.
Je te propose de reprendre l'inégalité que j'ai donnée à @lostounet ci_dessus (ne pas faire la réduction d'échelle qui ne sert à rien).
C'est à dire la majoration par le nombre 6.
Ceci étant dit je crois que c'est un vrai problème difficile.
Si tu es pour apporter une solution, il va falloir faire un effort de clarté.

[Baya]

bonjour,
j' ai essayé avec les inegalites de Cauchy-schwartz et Minkowski...
je me bloque ici : 1/3 =< ab+bc+ca avec a+b +c=1 et a,b et c sont positifs.... (je pose x²=a ....)
Est ce qu'elle est vrai ?

[aviateur]

Bonjour Baya je ne pas sûr de comprendre ce que tu demandes
[mais avant tout pour éviter les confusions, j'ai reposé le problème tel qu'il est à l'origine. Cela ne change rien mathématiquement mais pour se comprendre il faut que l'on discute sur la même inégalité.
donc maintenant a^3+b^3+c^3=3 (et non plus 1) et la majoration de la fonction c'est par 6. ]

Ta question c'est a+b+c=1 implique 1/3<=ab+bc+ca?
Alors la réponse est non car (a,b,c) = (0,0,1) donne 0 et c'est plus petit que 1/3.

[zygomatique]

salut

x, y et z sont positifs donc



or la fonction cube est croissante et convexe sur donc



donc


désolé j'ai pas mieux ...

[zygomatique]

bon appliquons plutôt l'inégalité de Hölder avec p = 3 et q = 3/2 donc 1/p + 1 /q = 1



damned ... ça revient au même !!!

[chan79]

Démontrer que

salut
on dirait que l'énoncé a changé ...

[Lostounet]

damned ... ça revient au même !!!

Je pensais que justement Holder dèrivait de Jensen (convexité) non?

[Lostounet]

Démontrer que

salut
on dirait que l'énoncé a changé ...

Aviateur dit avoir renormalisé l'énoncé de départ... Mais là il est revenu dessus.

En tout cas l'inégalité ressemble pas mal à l'inégalité de Schur au vu des puissances mais bon.

[Lostounet]

Bonjour

Voici une inégalité qui me semble bien difficile à démontrer.

Soit vérifiant

Démontrer que



Bravo à celui qui trouvera une démonstration.

Quelle frustration cette inégalité ! Ce qui suit n'est pas une belle preuve.

Si x^3 + y^3 + z^3 = 3, j'extrais z et z^3 et je branche et j'oublie cette contrainte.

On trouve donc la fonction:


Donc l'annulation des deux dérivées partielles revient à l'annulation des quantités suivantes:




Si on "conjecture" sur cette chose abominable que le long de x = y on peut voir quelque chose, on se ramène à l'étude de (quelle intuition merci les logiciels de calcul formel)

Ainsi que:

Bon, c'est pas du raffinement, mais c'est pas la mort non plus car en élevant tout au cube et en interposant Y = y^3, on se ramène à une cubique et Cardan marche bien dessus (et en plus on a le luxe d'une solution évidente mais bon faisons semblant )

ie

Pour la seconde, par le même changement d'inconnue on fait chuter le degré de 15 à 5 et on tombe sur une quintique (avec toujours le luxe de la solution évidente... (donc "juste" Ferrari)..)


Sinon je n'ai rien d'autre à proposer... !

[MMu]

Soit