Diamètre (espace métrique)

[Yasmiiine]

Bonsoir,j'ai des difficultés avec les espaces métrique..Aidez moi s'il vous plait!!

J'arrive pas à comprendre ces deux démonstrations :

1- A est borné son diamètre est fini

Démonstration :

Si A est borné alors il existe une boule B(x,M)
tq : A B(x,M) c'est à dire : Diam(A) 2M (pourquoi?)
On démontre le contraire:
Supposons que :
Diam(A) +
alors : A B'(x,diam(A)) ( pourquoi??)
et : A B'(x,diam(A)) B(x,2diam(A)) alors : A est bornée.

La source : Mon cahier de cours.

Une autre question : Pourquoi on a démontré le contraire? Y a t-il une autre méthode pour le démontrer ? Une idée ?

2- Diam(A) = Diam (l'adhérence de A)
Démonstration :

On a : A l'adhérence de A Diam(A) Diam(l'adhérence de A) (*)
Soit : x,y l'adhérence de A , c'est à dire : Quel que soit > 0 ; B(x,) A Ø
il existe x' A ; d(x,x') < ( pourquoi?)
et il existe y' A : d(y,y') < (??)
d(x,y) d(x,x') + d(x',y')+d(y',y) 2 + d(x',y')
d(x,y) 2 + diam (A)
On prenons le sup des deux cotés : Diam(l'adhérence de A) diam (A) ( comment?) (**)

Alors : Diam (A)=Diam (l'adhérence de A)

Merci d'avance

[pascal16]

rajoute les balises tex pour que se soit lisible stp.

[Yasmiiine]

rajoute les balises tex pour que se soit lisible stp.

Bonjour,c'est fait. Je m'excuse j'ai pas vérifié

[mathelot]

pour la (1)
A bornée
il existe tels que

pour x,y appartenant à A:

[Yasmiiine]

pour la (1)
A bornée
il existe tels que

pour x,y appartenant à A:

Merci beaucoup c'est plus clair maintenant! Et pour le reste stp ?

[mathelot]

on note l'adhérence de A
pour la (2)
car

soit
Pour tout epsilon>0,
Il existe tel que
et

[Yasmiiine]

on note l'adhérence de A
pour la (2)
car

soit
Pour tout epsilon>0,
Il existe tel que
et

Mercii,mais peux-tu m'expliquer comment tu sautes de l'étape 4 à 5 ? Alors que le Diam (A) = SUP d(x,y)
et revenons à la (1) stp :

Qu'est-ce qui confirme que le sup est plus petit ou égal à 2M ?

[mathelot]

il y a deux lemmes à connaitre
par coeur

lemme1 : si E est un borné de l'e.métrique (X;d)

lemme2:
soient a t b deux réels
si pour tout epsilon
alors

[Yasmiiine]

il y a deux lemmes à connaitre
par coeur

lemme1 : si E est un borné de l'e.métrique (X;d)

lemme2:
soient a t b deux réels
si pour tout epsilon
alors

Pardons je voulais dire de l'étape 3 à 4,
Oui,je connais bien ces lemmes mais pourquoi


Si c'était l'inf j'aurais compris mais c'est bien le sup
Merci beaucoup pour votre aide

[mathelot]

Pardons je voulais dire de l'étape 3 à 4,
Oui,je connais bien ces lemmes mais pourquoi


Si c'était l'inf j'aurais compris mais c'est bien le sup
Merci beaucoup pour votre aide

2M est un majorant des d(x;y)
sup d(x;y) est le plus petit des majorants.dc il est plus petit que 2M

[Yasmiiine]

Pardons je voulais dire de l'étape 3 à 4,
Oui,je connais bien ces lemmes mais pourquoi


Si c'était l'inf j'aurais compris mais c'est bien le sup
Merci beaucoup pour votre aide

2M est un majorant des d(x;y)
sup d(x;y) est le plus petit des majorants.dc il est plus petit que 2M

Ah oui c'est bon merciii encore