Des suites

[HamzaM]

On considére la suite (un) définie par : u0=0 et u1=1 et pour tout n dans N: u(n+2)=u(n+1)+un



c) montrer que (pour tout n dans N) (pour tout m dans N*): u(n+m)=um*u(n+1)+u(m-1)*un

J'arrive pas à démonter cela.
HELP

[infernaleur]

Salut, une récurrence à deux termes pourrais surement marcher as-tu essayé ?

[infernaleur]

je conseille de faire ta récurrence sur n ^^

[HamzaM]

Salut, une récurrence à deux termes pourrais surement marcher as-tu essayé ?

oui j'ai essayé mais je me trouve toujours bloqué!!!!!

[HamzaM]

je conseille de faire ta récurrence sur n ^^

Merci,
Or je trouve encore de difficulté à rendre u(n+m-1) en fonction de un et um!

[pascal16]

La forme n'est pas habituelle.
On pourrait croire qu'il faille faire une récurrence sur n puis sur m, mais en fait il faut bien vérifier l'initialisation sur n et m, et la récurrence se fait comme d'habitude.
tu travailles pour n+m fixé, tu valides sur n+m+1
n+m+1=(n+1)+m=n+(m+1) donc tu auras bien fait la récurrence sur n et m en 1 fois


tu développes les deux terme par HR (tu as bien des indices inférieurs à n+m, tu as le droit)
tu mets ensuite Un en facteur et Un+1 en facteur
ce qui est entre parenthèse se simplifie par la relation de récurrence du départ (vrai pour tout élément de la suite)
tu tombes sur la formule au rang n+m+1

[HamzaM]

J'ai une question un peu banale
J'ai pas compris:" tu développes les deux terme par HR" Comment faire cela.
Puis je na sais comment poser l'hérédité.

Mrc Bcp ! et désolé pour le dérangement

[infernaleur]

P(n):" pour tous m entiers naturels non nuls u(n+m)=um*u(n+1)+u(m-1)*un"
pour l'héredité ( récurence à deux termes sur n)
On suppose P(n) et P(n+1) et on démontre P(n+2)
U(m+(n+2))=U(m+n+1)+U(m+n)
=[ U(m)*U(n+2)+U(m-1)*U(n+1) ] + [U(m)*U(n+1)+U(m-1)*U(n)]
=U(m)*[ U(n+2)+U(n+1)] + U(m-1)*[U(n+1)+U(n)]
=U(m)*U(n+3)+U(m-1)*U(n+2)

[infernaleur]

Voila pour la méthode que je proposais si il n'y a pas d'erreur.

[HamzaM]

P(n):" pour tous m entiers naturels non nuls u(n+m)=um*u(n+1)+u(m-1)*un"
pour l'héredité ( récurence à deux termes sur n)
On suppose P(n) et P(n+1) et on démontre P(n+2)
U(m+(n+2))=U(m+n+1)+U(m+n)
=[ U(m)*U(n+2)+U(m-1)*U(n+1) ] + [U(m)*U(n+1)+U(m-1)*U(n)]
=U(m)*[ U(n+2)+U(n+1)] + U(m-1)*[U(n+1)+U(n)]
=U(m)*U(n+3)+U(m-1)*U(n+2)

Mrc,
Oui cela marche

[infernaleur]

Ok si tu a une autre question n'hésite pas ^^