Lien entre Primitive & Intégrale

[Gurvan44]

Bonjour, je passe en L2 Physique je manipule donc tout le temps l'intégrale j'ai appris que c'était l'aire sous la courbe de F(B)-F(A) ou f est une fonction et F sa primitive. Mais d'où vient ce lien entre primitive et aire sous la courbe ?
Je connais certaines méthodes d'approximations comme l'intégration avec rectangles. Il y en a une autre qui est très précise mais bien plus compliqué à saisir, celle de Simpson :
https://drive.google.com/file/d/0B5Y96F ... sp=sharing

C'est une fiche de mon prof de L1, j'ai un peu de mal à tout comprendre. Est-ce que c'est cette méthode qui permet de comprendre le lien entre primitive et aire sous la courbe ? Sinon qu'est qui a permis au mathématicien de comprendre ce lien ?

C'est un sujet qui me semble assez difficile à répondre sur un forum car les démo peuvent être longues, donc n'hésitez pas si vous en connaissez, à partager des fiches ou des vidéos qui expliquent peut-être mieux que mon prof

Merci !

[Arbre]

Bonjour,

La définition de l'intégrale de Riemann, sur [0,1] de est



Quand est de signe positif alors est exactement l'aire d'un histogramme, qui suit la courbe .

Voilà, voilà.

[Arbre]

On vient de voir que l'intégrale peut quand la fonction est positive, peut s'interpréter comme une aire.

Regardons maintenant le lien avec la primitive.

On pose .

Il suffit de montrer que pour établir le lien avec la primitive.

Si tu ne vois pas comment faire j'essaierais de m'y coller.

édit : est supposée continue.

[Gurvan44]

Ok ça m'a pris qq min mais j'ai bien tout capter ce que t'as dis et en effet il suffit de montrer que Un'(x) = f(x)
Mais je n'y arrive pas... j'ai tenté des trucs mais ca passe pas je me retrouve à dire que un(x+h) = un(x)

[Arbre]

Quelques indications (sinon c'est difficile).

f est supposée continue, a>b réels :

1/Commence par montrer que : .

2/Utilise ce résultat (1/) pour montrer ce que tu veux.

remarque : avec le changement de variable .

PS : en utilisant pour l'intégrale la définition de Riemann (sommes que l'on peut interpréter comme des aires) : (à l'aide des "")

Bon courage.

[Gurvan44]

Ouai la c'est trop en plus je ne vois pq ce changement de variable est apparu. Si tu as une réponse vas y hein ^^ je ne cherche pas à le démontrer moi-même je ne me sens pas a encore assez expérimenter pour le faire.

[Arbre]

Connais-tu le théorème des valeurs intermédiaires ?

Pour le changement de variable, c'est parce que j'ai défini l'intégrale sur [0,1], c'est pour rester dans ce cadre le changement de variable.

[Lostounet]

Salut Gurvan,

Puisque tu fais de la physique, je pense que tu apprécieras la vidéo suivante qui traite du sujet. C'est en anglais mais je trouve qu'elle est bien faite pour comprendre le lien entre "primitivation" et "aire sous la courbe" (tu peux aussi regarder d'autres vidéos de la série !)

https://www.youtube.com/watch?v=rfG8ce4 ... VRMYO3t5Yr

[Arbre]

En français :

https://www.youtube.com/watch?v=QPllqTbbqA4

[Gurvan44]

Ah oui d'accord pr le changement de variable pour rester dans la définition de Riemann. et oui c'est : une fonction continue sur [a,b] présente un unique réel f(c) si a<c<b et que f est monotone sur [a,b]
ou si elle n'est pas monotone elle présente au moins un réel f(c) (je crois que ça) mais je vois tjrs pas comment faire sérieux

Merci pour les vidéos je regarde ça dès que j'ai le temps ! super lê je le connais il est génial lui ^^

[Arbre]

Regarde les vidéos, et si tu ne vois toujours pas, viens nous le dire.

[Gurvan44]

OK merci j'ai tout compris !

[Arbre]

Avec plaisir.

[mathelot]

bonsoir,
la fonction définie sur [a;b] par

a pour dérivée si f est continue.

C'est la primitive de f qui s'annule en x=a

donc, pour toute primitive F de f définie sur [a;b]