Etude de fonctions - Puissances fonctionnelles

[ClémentMercier1601]

Bonjour à tous et toutes, c'est avec un grand plaisir et très sereinement que je quitte la Terminale S (Spé Maths) pour aller en MPSI, mon prof de maths m'a transmis par e-mail un gros document pdf (159 pages) qui est un condensé cours/exercices à travailler pendant ces vacances pour permettre une transition un peu plus "douce".
A mon grand désarroi il n'y a pas la correction à tous les exercices et certains même n'ont pas de correction sur Internet.
Je voudrais vous partager l'un de ceux-là pour voir si j'ai bon et n'ai pas commis d'erreur.

Enoncé:

Soit c dans . Pour x dans , soit :



Calculer f(f(x)), f(f(f(x))) et généraliser:
Voici un scan de mon cahier où j'ai réaliser cet exercice, je vous merci d'avance d'accorder du temps à sa correction.

[chan79]

bonjour

[ClémentMercier1601]

Oh mon dieu l'erreur d'inatention de débutant, veuillez vraiment m'excuser...

[Math3matiqu3]

Bonjour,




Compare avec ce que tu as trouvé et continue !

[Viko]

Je rajoute mon grain de sel on dit itération et pas puissance fonctionnel ^^

[ClémentMercier1601]

Merci beaucoup je savais pas comment cela s'appeler c'est pas au programme de Term ^^

[Lostounet]

Je rajoute mon grain de sel on dit itération et pas puissance fonctionnel ^^

Si, j'ai déjà rencontré l'expression dans plusieurs ouvrages (cela peut être lié à la notation en puissance de l'itérée justement).

[Viko]

ah oui ? je ne savais pas, toutes mes excuses alors !

[Viko]

pour ce qu'il en est de l'exercice personnellement je trouve que :

où désigne l'itérée n-ième de f

[Math3matiqu3]

Je trouve plutôt que







D'où

, avec l'itérée n-ième de


On devrait peut-être démontrer par récurrence ?

[Viko]

nos résultats sont sûrement équivalents (flemme de vérifier ) en revanche le tien est bien plus puissant et c'est sûrement ce qui est attendu, et oui cette exercice figurant dans la partie récurrence du dossier je pense qu'il est inplicit qu'il doit être démontré par récurrence ^^

[Math3matiqu3]

, est continue sur

Montrons par récurrence que :

n=1 : Propriété vérifiée.

Supposons la propriété vérifiée jusqu'au rang . (Hypothèse de récurrence)

Montrons qu'elle reste vraie à l'ordre :

Par définition :
de l'hypothèse de récurrence on obtient :
Elle est vérifiée.

D'où : on a bien :

[Viko]

Comment passes-tu de à ?

[Math3matiqu3]

En divisant sur ( )

On obtient :

[Viko]

d'accord merci

[ClémentMercier1601]

Bonjour à tout ceux qui ont pris le temps de me répondre et de me corriger, je n'ai pas lu les dernières réponses, j'ai vu rapidement qu'elles contenaient une bonne partie du raisonnement à suivre, je vais de ce pas refaire l'exercice et je le reposterai, je vous en remercie d'avance de bien vouloir y jeter un oeil

[ClémentMercier1601]