Nilpotence matrice triangulaire supèrieur diagonale nulle

[infernaleur]

Salut !
Je m’intéressais à démontrer la nilpotence d'une matrice triangulaire supérieur à diagonale nulle mais je n'y parviens pas ...
Auriez-vous quelques pistes à me donner
Merci !!!

[Viko]

la seule démonstration que je connaisse le démontre en considérant que les matrices sont des représentations matricielles d'endmorphisme dans des espaces vectorielle de diemnsion égal à l'ordre de la matrice mais je ne peux pas t'en dire beaucoup plus...

[Matt_01]

Salut !
Je m’intéressais à démontrer la nilpotence d'une matrice triangulaire supérieur à diagonale nulle mais je n'y parviens pas ...
Auriez-vous quelques pistes à me donner
Merci !!!

Que vaut son polynôme caractéristique ?

[infernaleur]

Merci pour ta réponse Viko, j'ai essayé d'y réfléchir mais je n'ai pas avancer

Merci pour votre réponse Matt_01
Je ne connaissais pas la notion de polynôme caractéristique j'ai donc regarder rapidement a quoi cela correspondais et j'ai aussi pris connaissance du théorème de Cayley-Hamilton
on à donc P(X)= X^n ( pour une matrice triangulaire supérieur stricte de taille n) où P est le polynôme caractéristique.
(On note A la matrice triangulaire supérieur stricte)
Et d'après le théorème de Cayley-Hamiton , on sait que P(A)=A^n=0
C'est cela que vous vouliez que je fasse ?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour développer le message de Viko, je dirais que la matrice M d'ordre n considérée est la matrice d'un endomorphisme dans un e-v de dim n dans une certaine base (ou de l'application linéaire de canoniquement associée à M).

Comme M est triangulaire supérieure d'éléments diagonaux nuls, alors :
.

Il suffit alors de montrer que : . On a alors , donc .

[aviateur]

Bonjour
Pour la démo on peut le faire à la main comme le propose @pseuda. C'est un bon exercice,
Mais l'utilisation du th de Cayley Hamilton donne le résultat immédiatement.

[infernaleur]

Daccord merci !!!
C'est bon Pseuda merci pour votre réponse très détaillé c'est cette démonstration que je cherchais.