Isomorphisme d'espace vectoriel

[Mathixar]

Bonjour,

J'éprouve aujourd'hui quelques difficultés à résoudre cet exercice :

On considère un espace euclidien (E,<,>) et a un élément de E. Montrer que l’application S de E dans L(E, R) définie par S : a −→ Sa est un isomorphisme d’espace vectoriel.

Un isomorphisme d'espace vectoriel se définit comme une application linéaire bijective entre deux espaces vectoriels. Je pense que le fait que l'espace d'arrivée soit l'ensemble des applications linéaires de E dans R assure la linéaire de S, mais comment le justifier proprement ? J'avais pensé à écrire :
soit t un réel quelconque, soient (a,b) € E^2. S : ta+b -> S(ta+b) = t(S(a))+S(b) par linéarité.
Mais j'ai pas l'impression de démontrer quelque chose...

De même, pour la bijection, comment justifier le caractère bijectif de S ?

Merci d'avance.

[zygomatique]

salut

si la dimension de E est finie alors les ensembles E et E* = L(E, R) sont isomorphes (cours)

d'autre part tu ne dis pas ce qu'est l'application S(a) : E --> R ...

[Mathixar]

Re-Bonjour,

Merci de ta réponse rapide.

L'application S(a): E -->R est une application linéaire de E de R. Une fois le caractère isomorphe des ensembles E et E* établi, peut-on conclure directement avec la linéaire de S ?

[zygomatique]

certes mais sans savoir qui est Sa c'est faux ...

S : E --> L(E, R)
a ---> S_a

définie par S_a(x) = x_1 + x_2 + ... + x_n = <x, (1, 1, ..., 1)> ne dépend pas de a ....

[Mathixar]

Je ne vois pas vraiment la subtilité du coup...

[zygomatique]

je te dis que tant qu'on ne sait pas qui est S c'est faux : je t'ai choisi pour S la fonction constante !!!

prenons E = R muni de son produit scalaire donc de son produit <a, b> = a.b

L(R, R) est trivialement l'ensemble des applications linéaires x --> ax pour tout réel a

et pour S je choisis l'application a --> (x --> x)

S est donc une fonction constante !!! puisqu'à tout réel elle associe la fonction identité

[Mathixar]

Ahh d'accord, merci beaucoup pour le temps que tu m'as consacré!