Définir une famille d'éléments d'un ensemble

[JPMoulin]

Bonjour,

ma question n’est pas du tout académique, je fais un article sur les mécanismes génériques en biologie théorique et je bute sur des problèmes de représentation mathématique qui sont pour moi inextricables compte tenu de mon manque de formation en mathématiques pures. Voici l’un d’eux :

soit E un ensemble fini d’objets de cardinal n et un compteur que j’initialise a 0.

ensuite, j’effectue l’opération :

tirage exhaustif d’un élément de E que j’indexe par la valeur du compteur,

j’incremente le compteur

et ainsi de suite jusqu’a épuisement de E.

j’obtiens donc a la fin de cette “manipulation” une famille des n objets de E indexés par les n prémiers nombres entiers ; j’obtiens la suite o1, o2, o3 , … , on

Dans cette manipulation, j’ai admis implicitement l’axiome du choix.

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Si l’on se reporte a une définition des famille d’objets, tout est parfaitement défini : l’ensemble de départ et d’arrivée et la fonction f, je cite l’exemple qu’on trouve dans les livres:

soit i l’ensemble des nombre entiers , la famille définie par f qui applique i dans (-1)^i

tous les objets de cette définition sont ainsi bien définis comme dans toutes les operations mathématiques d’ailleurs,

Si on se reporte a la “manipulation” precedement décrite, on ne sait rien des objets de l’ensemble n sinon qu’on les a indexes.
On peut meme dire qu’avant cette indexation on ne pouvait les différentier (d'ou l'ides du tirage exhaustif qui permet de les "sortir" un a un de l'ensemble sans avoir a les nommer.

dans ces conditions peut on définir une fonction f qui indexe les éléments de l'ensemble E dans ma “manipulation” ?

d’ou ma question :

soit un ensemble fini d’objets que j’appelle E, soit une fonction f bijective qui indexe chaque élément de E par un élément de l’ensemble {0, 1, … ,n}

est que cette définition de f a un sens en mathematique bien que les éléments de E soient indiscernables avant qu’on ne les indexe ou dois je avoir recours a la “manipulation” précédemment décrite.


autre façon de présenter ma question peut on définir en langage mathématique la “manipulation” précédemment décrite autrement que par ce “pseudo code”

Merci de vos réponses, j'espère ne pas avoir été trop filandreux

J-P Moulin

[zygomatique]

salut

déjà un pb : numéroter les éléments d'un ensemble à n éléments de 0 à n ça pose pb puisque de 0 à n ça fait n + 1 ...


ensuite je ne comprends pas ton pb : que les objets soient discernables ou non tu prends un objet et tu le numérotes 1, puis un deuxième et tu le numérotes 2 ... et ainsi de suite jusqu'au n-ième ...

il est évident que si je fais la même chose il y a peu de chance qu'on ait numéroté les objets de la même façon ... sauf s'ils sont tous identiques ...

ta manipulation n'est donc que construire une n-liste d'un ensemble à n éléments ...

[mathsup]

En fait, dès que vous savez que votre ensemble comporte n éléments c'est que vous êtes capable de les indexer. En effet dire qu'un ensemble est de cardinal n, est par définition dire qu'il existe une bijection entre cet ensemble et l'ensemble {1,...,n} et donc qu'il existe une indexation.

L'indiscernabilité en mathématique s'obtient en créant une identification des objets en utilisant par exemple la notion de relation d'équivalence : ce qui peut être une piste pour vous !

[JPMoulin]

merci de vos réponses.

je me préoccupais en fait de l'opération qui permet de définir une famille alors qu'il semble que pour vous mathématicien, vous vous préoccupez de l'existence de la fonction qui permet cette opération, c'est pour cela que je définis une sorte de procédure ; ma question était en fait était existe il une représentation mathématique de cette procédure (elle n'existe que si l'on admet l'axiome du choix).
Pour un mathématicien la réponse est d'un autre ordre il est facile de démontrer son existence mais vous ne vous préoccupez pas du tout d'en montrer une implémentation (procédure et implémentation sont des mots a moi qui doivent être tout a fait étrangers a un mathématicien je pense, je suis habitue et cela a des conséquences très mauvaises, je le vois, a penser en terme de lambda calcul)

en fait je ne vous avais pas donne le "bon" exemple, j'avais donne cet exemple très trivial par souci de clarté car comme vous pouvez le constater, je suis a mille lieux des mathématiciens bien que j'étudie l'algèbre générale de Godement et bien d'autres livres.

en fait ma vraie question ne portait pas sur la numérotation des éléments d'un ensemble mais sur un autre problème presque identique :

je pars de deux ensembles
1 - un ensemble fini dont les n éléments sont déjà indexes E={e1,e2, ... ,en} et
2 - l'ensemble puissance de toutes les applications de E dans E (ou E sur E, je ne sais quel est le terme exact)

pour refaire exactement ce que j'ai décrit sous le terme "manipulation",

je pratique un tirage exhaustif sur l'ensemble E qui va me donner par exemple l'élément ep et un tirage exhaustif sur l'ensemble puissance qui me donne une fonction f et indexer cette fonction f avec l'indice ep
et ainsi de suite jusqu'a épuisement de l'ensemble E c'est a dire après n tirages.

Me suffit il de dire que cette manipulation ou procédure précédente vient de définir une application injective de E dans l'ensemble puissance E^E
cette application injective est l'une des façon de prendre (dans notre cas) n objets distincts parmi n puissance n objets

Ma question est : est ce qu'un mathématicien ne trouve rien a redire a ce que je viens de dire ou y a t il une (ou plusieurs) énormité ?

J-P Moulin

[zygomatique]

ben le problème c'est que si l'ensemble a éléments alors l'ensemble des applications de E dans E a éléments ... et même si on ne considère que les bijections cela fait encore éléments

donc tu ne pourra jamais indexer les éléments de par les éléments de E ..

[JPMoulin]

Cher Zygomatique.

Je parle d'injection de E dans E puissance E et non de bijection.

Si une telle bijection existait, je pense que aleph 0 serait égal a aleph 1 et je pense que cela se saurait

Meilleurs sentiments

J-P Moulin

[zygomatique]

j'ai évidemment compris et je te dis que même si on ne considère QUE les bijections de E^E tu ne peux même pas les indexer par E puisqu'il y en a déjà n! alors que E a n éléments ...

et comme je l'ai dit l'ensemble E^E de toutes les applications de E dans E a n^n éléments ...

[JPMoulin]

Bonjour

Je ne pensais pas que tu ne comprenais pas mais que tu lisais très vite le sujet et que tu n'avais pas vu que je parlais dans le dernier cas (le seul qui m'intéresse d'ailleurs) de bijection mais d'injection.

D'abord reprenons le derniers question : Je ne voulais pas indexer les éléments E^E par les éléments de E mais je voulais indexer E éléments de E^E par les éléments de E, c'est a dire prendre dans l'ensemble des E^E éléments , E éléments que j'indexe par les éléments de l'ensemble E.

Si j'ai compris, on ne peut pas car cette indexation suppose une fonction injective de E dans E^E qu'on ne peut définir.

(Je connais un contre exemple d'une fonction qu'on trouve dans les livres d'algèbre générale, ou l'on montre fonction bijective qui applique les éléments de N sur les éléments de N^2)

Par contre, soit n = Cardinal de E^E , il existe une fonction bijective qui permet l'indexation de l'ensemble puissance par ces n nombres entiers, c'est ce que fait Godel dans ses deux théorèmes quand il fait correspondre une fonction a son code.

On peut résumer tout cela en disant que l'indexation suppose l'existence d'une fonction bijective entre l'ensemble des index et l'ensemble de elements a indexer, je ne le savais pas.

Ai je bien compris ?

[zygomatique]

effectivement tu peux toujours indexer une partie des éléments de E^E par les éléments de E mais puisque E a n éléments tu ne pourras pas indexer plus de n éléments parmi les n^n éléments de E^E (et c'est donc bien fabriquer une injection de E dans E^E)

une dernière remarque puisque E est fini il y a autant d'injections que de bijections puisque toute injection est bijective !!

[JPMoulin]

tout d'abord, merci de tes reponses.

Bien que je pense avoir une veritable comprehension maintenant, je vais essayer de faire comprendre pourqoui ce n'est pas encore ce que je voudrais ; je voudrais formaliser sous forme mathematique un article que j'ai publie au CRAS mais qui se presentait uniquement en termes de machines formelles car je n'etait pas capable de le presenter comme j'essaye de le faire maintenant sous forme mathematique, pardon pour la presentation qui va suivre qui est peut etre absonce pour un mathematicien, voila le "systeme" de base sur lequel je travaille :

Je prenais un corps de galois (plus facile a manipuler avec un langage informatique) , un ensemble E de classes residuelles modulo p avec p premier, j'imaginais que la machine formelle possedait p cases, chacune contenant une fonction tiree au sort a partir de l'ensemble E^E.
On a donc en jargon de langage de machine formelle, p adresses chacune pointant sur une fonction appartenent a l'ensemble E^E.

Pour faciliter la comprehension, voila un exemple d'utilisation :
on peut avec ce "truc" imaginer par exemple l'iteration suivante : on tire au sort un element en de E adresse d'une fonction fn, je calcule ensuite en+1 = fn(en) qui me donne une nouvelle adresse en+1 adresse d'une fonction fn+1 etc ... jusqu'a ce que j'obtienne dans la suite des doublets ainsi constituee (en, fn), (en+1, fn+1) ... un element identique a l'un des elements precedent, j'obtiens un groupe cyclique, fermeture transitive d'une fonction et bla et bla ... on ne s'etend pas, ce n'est pas l'objet de ma question, c'est juste pour donne une idee afin de faciliter la comprehension.

Comment definir le composant essentiel sur lequel je travaille : p cases (cardinal de E) dans chacune desquelles on a mis une fonctions tiree au sort sur l'ensemble E^E. ?

Mon idee (mauvaise) etait de dire qu'on indexait la restriction de l'ensemble E^E a p elements et qu'on indexait ces p elements de E^E avec les p elements de E

il n'y a pas d'operation mathematiques pour effectuer une telle operation d'apres ce que j'ai compris precedemment.


Faut il donc que je propose au debut de l'article une "procedure" du type :

je tire au sort (tirage exhaustif ou non ce n'est pas le sujet, on s'en moque) p fonctions sur l'ensemble des p^p fonctions et je constitue ainsi une liste comportant p fonctions que j'indice par leur ordre arrivee dans la liste ou ce qui revient au meme par leur place dans la liste des p fonction {fp, ... , f1} ?

J'espere que je ne suis pas trop casse pied, suffisament clair pour etre comprehensible ; je pense que ce sera ma derniere question (sur ce sujet tout au moins).

J-P Moulin

[mathsup]

En fait il est possible de numéroter les fonctions de E dans E dans la mesure où E reste fini ce qui est votre cas. Je vous donne un exemple avec E={1,2,3} pour simplifier, que vous pourrez généraliser avec n éléments.

Si vous prenez une fonction, celle-ci est caractérisée pas ses images ce qui donne un moyen de les encoder. Par exemple si vous prenez la fonction qui fait

f(1)=2, f(2)=2 et f(3)=1

vous pouvez la représenter par le triplet (2,2,1). Et inversement à un triplet donné correspond une fonction. Par exemple (3,2,2) représentera la fonction

f(1)=3, f(2)=2, f(3)=2

Par ce processus d'encodage des fonctions vous pouvez les parcourir toutes de la manière suivante :

(1,1,1)
(1,1,2)
(1,1,3)
(1,2,1)
(1,2,2)
etc...

Peut-être ceci pourrait vous aidez dans ce que vous cherchez à faire?

[zygomatique]

tiens j'allais le proposer ... plus théoriquement ...

mais surtout je ne comprends pas pourquoi tu t’arrêtes à n

puisque l'ensemble est fini tu peux effectivement numéroter les n^n applications de E dans E

et faire tout simplement ce que tu dis en choisir n (ou p) parmi elles (avec répétition éventuellement)

mais effectivement on peut coder (et numéroter) tout ensemble fini ...

[JPMoulin]

bonjour, merci de toutes ces réponses

Cher Mathsup, j'ai besoin pour mon travail de fonctions indexees "au petit bonheur" ou pardon mais j'ai des habitudes de pensées en termes de machines formelles : je prends comme conditions initiales, travaillant sur des ensembles de cardinal p, une liste de p éléments, chaque élément étant une fonction tiree au sort appartenant a l'ensemble puissance de cardinal p^p de ce fait.
C'est peut être comme cela que j'aurais du poser ma question initiale.

J'essaie d'écrire l'article en termes mathématiques d'ou mon idée de décrire l'opération précédente par un liste de p fonctions parmi les p^p que je vais reprenseter par un ensemble de p fonctions indexées de 1 a p.

pour fixer les idée, je travaillais sur les classe résiduelles modulo p avec p premier, un corps de Galois, pour la bonne et simple raison que c'est beaucoup plus difficile de manipuler avec un langage informatique autre chose, et je réalisais l'opération consistant a tirer au sort une fonction en tirant au sort les coefficients d'un polynôme de degré p-1.
Dans ces conditions on peut considérer cette liste comme un ensemble de fonctions indexées par leur place dans la liste.

Exprimer tout cela quand on n'a pas de formation mathématiques autre que celle d'un ingénieur (en 63 en premier année de préparatoire au Lycee saint Louis on ne parlait meme pas des espaces vectoriels !) est franchement très difficile, je pense que vous ne vous en rendez pas bien compte vous qui avez une culture mathématique solide. Meme pour exprimer un problème aussi simple que l'indexation des éléments d'un ensemble fini (qui après coup est un sujet trivial) voyez la difficulté a le faire.

Cher zygomatique.
Je ne m'arrête pas a n car j'ai l'ambition dans cet article d'être le plus général possible. Je m'arrête a n pour démontrer les premieres propriétés.
Je travaille sur les catégories complètes, catégorie Set et Top

[mathsup]

Il est vrai que le vocabulaire que vous employez parfois peut nous perdre complètement. Je pense à l'axiome du choix qui renvoie à des subtilités difficiles de la théorie des ensembles, ou aux corps de Galois qui sont des concepts mathématiques généralement rarement étudiées avant BAC+3. Par conséquent nous avons du mal à vous situer réellement. Votre derniers post nous renseigne mieux, mais je pense que la distance en temps et vos connaissances professionnelles acquises entre temps, nous brouille encore.

Pour ma part je suis parti sur une réponse très simple dans mon post précédent. Pourriez-vous nous dire si

1) Vous comprenez l'indexation des fonction proposée.
2) Si vous la comprenez :
a) pourquoi elle n'est pas suffisante pour poursuivre ce que vous cherchez à faire.
b) ou pourquoi elle ne répond pas à ce que vous chercher à faire.
c) ou si vous ne savez pas comment poursuivre avec la réponse.

Je sent qu'il s'agit de ce dernier point qui vous gêne car vous ne semblez pas arriver à formaliser les choses. Mais avant de vous proposer une réponse qui pourrait être longue, il faudrait que nous sachions.

[JPMoulin]

Merci de votre réponse , vous faites vraiment de l'enseignement des mathématiques en faisant une analyse véritable des mécanismes de compréhension chez les gens a qui vous enseignez.

Pourquoi il est difficile de me situer.

Vous avez du mal a me situer parce que je publie et travaille sur les mécanismes biologiques et comme j'etais incapable faute de formation en mathématiques fondamentale ma formation est celle des mathématiques d'ingénieur comme celles qu'on apprend dans les classe préparatoires aux grandes écoles il y a bien longtemps; j'ai aussi beneficie de l'enseignement mathématiques (pour ingénieur) et qu'on dispense en fac car j'ai passe un certain nombre certificats de science (électronique, servomécanismes, robotique)

Dans le labo ou je travaillais, je suis tombe sur un bouquin le Hopcroft et Hulmann sur les machines formelles que j'ai travaille pendant plus d'un an car cela permettait de formaliser les résultats de mes recherches si bien que tous les articles que j'ai publie sur les mécanismes biologiques sont exprime en terme de machines formelles : dynamique trajectoire, attracteurs, réseaux de ces machines, qui a posteriori sont des mathématiques discrètes qui ne disent pas leur nom et pire qui donnent des habitudes de pensee épouvantables a mes yeux.
Je suis en train de faire un article qui generalise les résultats auxquels je crois être arrive et je voudrais le faire en terme de mathématiques, ce n'est pas qu'une question de forme mais de fond qui me parait essentielle ;
vue ma carence en mathématiques je travaille en auto didacte, j'ai commence pas le lentin et rivaux "algèbre moderne" et l'algebre générale de Godement, défi algébrique de Mutafian par exemple d'ou l'irruption de notions bac+3.

pardon pour ce long blabla, mais la je crois que vous etes a meme de comprendre pourquoi je ne peux m'exprimer que sous forme charabia mathématiques incompréhensible.

oui je crois avoir bien compris l'indexation des fonctions proposées, voici ce que je viens d'écrire suite a votre réponse :

Screen Shot 2017-07-08 at 1.14.45 PM.png (49.54 Kio) Vu 1764 fois

Cela vous parait il correct aussi bien sur la forme que le fond ?

[mathsup]

J'ai lu ce que vous avez tapé, mais cela ne fonctionne pas bien. Et c'est probablement mon usage approximatif de la notion d'image d'une fonction qui vous a trompé. Je vais être plus précis cette fois-ci

Posons (possible car votre ensemble est fini). À chaque fonction de , on peut associer un élément de définit par .

Réciproquement à tout éléments de , on peut associer une fonction de définie par .

Par cette construction, on dispose donc d'un encodage des fonctions de , par une fonction :



où , est la fonction de définie par .

Est-ce que c'est lisible et exploitable pour vous?

[JPMoulin]

Oui après (beaucoup de réflexion), c’est tout a fait lisible et exploitale pour moi.

je vous remercie énormément de tout le patience dont vous avez du faire preuve pour déchiffrer mon charabia mathématique.

J-P Moulin.