Bonjour
"Explication simpliste" : tu considères l'espace
des fonctions définies sur
indéfiniment dérivables, à support compact (i.e nulle en dehors d'un segment [a,b]).
Un élément qcq de E sera noté
Un élément T de E' (i.e une forme linéaire sur E) est appelé (une) distribution.
Exemple 1: Distribution associée à une fonction f notée
Moralement
et f c'est la même chose. Une telle distribution est donc considérée comme une fonction.
Exemple 2. Soit
définie par
T est la mesure de Dirac
(notée
)
Ensuite on peut faire beaucoup de calculs dans E' en généralisant la notion de dérivée, de transformée de Fourier....
Par exemple si f est une fonction dérivable on a pour tout
(avec une i.p.p
Ce qui donne l'idée de définir la dérivée d'une distribution T notée T' par la formule
Ainsi toute fonction dans E' est dérivable.
exemple Soit H la fonction de Heaviside définie par H(x)=1 si
et H(x)=0 si x<0.
Calculons sa dérivée :
c'est à dire que la fonction H a pour dérivée la mesure de Dirac.
(Bien entendu au sens classique la fonction H n'est pas dérivable mais au sens des distributions elle l'est mais sa dérivée n'est pas une fonction au sens classique).
Tout cela est bien sûr mathématiquement rigoureusement défini, voir Laurent Schwartz mais il ne faut pas oublier Sobolev, Hadamard...