Démo produit scalaire (lien entre coordonées et plan)

[Gurvan44]

Salut,

J'essaie de comprendre les origines et fondements de plein d'éléments assez basique, j'aimerai donc en savoir plus sur ce produit scalaire.

Apparemment il serait d'abord apparu avec l'idée de multiplier les coordonnées de deux vecteurs deux à deux.
Déjà si qq a une idée de pourquoi il a eu l'idée de faire ça serait intéressant, je me suis dit qu'il a l'a fait peut-être par hasard et a regardé si c'était utile !

J'aimerai donc savoir comment ont-ils trouver que multiplier les coord. 2à2 revenait à : ||u||.||v||.cos(u.v) ?

[laetidom]

Salut,

Déjà, si tu es d'accord avec la première définition qui dit que le produit scalaire de 2 vecteurs est le produit de la longueur du premier par la longueur du projeté orthogonal du second sur le premier . . .

. . . on obtient que (1)


de là on se dit que si un des vecteurs est nul ou si le cosinus est nul (donc 2 vecteurs orthogonaux) alors le produit est nul.

D'autre part, on peut écrire dans un RON : (2)


(1) permet de dire que : et (vecteurs unitaires orthogonaux)
par contre, et (vecteurs unitaires colinéaires)

D'où au final on obtient bien

Bonne journée.

[Black Jack]

Autrement,

A partir de mon dessin :



A partir de mon dessin :

vect(u) = (a,b)
vect(v) = (c,d)

|u| = RCarrée(a²+b²)
|v| = RCarrée(c²+d²)

a = |u|.cos(beta)
b = |u|.sin(beta)

c = -|v|.cos(gamma)
d = |v|.sin(gamma)

alpha + gamma + beta = 180°
alpha = 180° - (gamma + beta)

cos(alpha) = - cos(gamma + beta)

Mais cos(gamma + beta) = cos(gamma)*cos(beta) - sin(gamma).sin(beta)
--> cos(alpha) = sin(gamma).sin(beta) - cos(gamma)*cos(beta)
cos(alpha) = b/|u| * d/|v| - a/|u| * (-|c/|v|)
cos(alpha) = (bd + ac)/(|u|.|v|)

bd + ac = |u|.|v|.cos(alpha)
************

Et voila.

On peut recommencer avec des vecteurs u et v donnant d'autres signes pour a, b, c ou d.
Il faut alors en tenir compte aussi dans l'expression alpha + gamma + beta = 180° qui aura, suivant les cas, des différences de signes ...

Mais dans tout les cas, on obtiendra bien bd + ac = |u|.|v|.cos(alpha) , à partir de vect(u) = (a,b)
vect(v) = (c,d)
*****
Dans un espace à 3 dimensions, la démo reste similaire ... puisqu'on peut toujours choisir un repère pour ramener le problème en 2 dimensions.

[Gurvan44]

Excellentes réponses !
Avec une préférence pour celle de Black Jack

En effet Laetidom tu t'appuies sur une définition qui à mon sens est arrivé chronologiquement après la formule u.v.cos(uv) alors que black jack part d'absolument rien. Je pense que c'est plus comme ça que les mathématiciens de l'époque ont approché la chose.

En espérant vous revoir sur mes prochains sujets car je pense en avoir encore beaucoup de ce genre !
Si vous aimez ce genre de sujet d'ailleurs n'hésitez pas à me le faire savoir et j'irai vous voir directement pour de l'aide la prochaine fois !

A bientôt !

[laetidom]

Pas de soucis Gurvan, la démonstration de Black Jack partant de rien me plait également !!