Integration
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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nemid
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par nemid » 17 Juin 2017, 09:22
bonjour
:
je voudais savoir comment montrer que cette fonction est integrable (pour la mesure de Lebesgue sur
je sais que l'equivalence en 0 c'est 1/2 mais ...
mercii
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 17 Juin 2017, 11:28
Salut !
Les problèmes se situent en
et en
.
Montre que la fonction
est prolongeable par continuité en
.
Pour
, utilise le fait que
et majore
par une intégrale
telle que lorsque
converge. Tu auras alors la convergence de
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nemid
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par nemid » 17 Juin 2017, 13:13
capitaine nuggets a écrit:Salut !
Les problèmes se situent en
et en
.
Montre que la fonction
est prolongeable par continuité en
.
Pour
, utilise le fait que
et majore
par une intégrale
telle que lorsque
converge. Tu auras alors la convergence de
merci beaucoupp
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Lostounet
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par Lostounet » 17 Juin 2017, 18:34
On va pas calculer l'intégrale? :p C'est plus amusant !
Elle vaut pi/2 par le théorème des résidus.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.
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nemid
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par nemid » 18 Juin 2017, 00:26
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 18 Juin 2017, 10:21
Sinon, on peut s'en sortir sans analyse complexe en faisant intervenir une intégrale double, en utilisant Fubini et en connaissant le résultat de l'intégrale de Dirichlet. En remarquant que
, on a :
.
Par le théorème de Fubini, en intervertissant les intégrales et en connaissant la valeur de l'intégrale de Dirichlet
, on en déduit que le résultat annoncé par
Lostounet.
Lostounet a écrit:On va pas calculer l'intégrale? :p C'est plus amusant !
Elle vaut pi/2 par le théorème des résidus.
Quel contour prendrais-tu ?
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nemid
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par nemid » 18 Juin 2017, 13:44
merciiii
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Pythales
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par Pythales » 18 Juin 2017, 18:39
Sans utiliser Fubini ni les résidus, une simple intégration par parties montre que l'intégrale est égale à
Sinon par les résidus, considérer
que l'on intègre sur le contour 0,infini, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur -infini,0 et enfin sur le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0
Quant à
elle s'intégre aussi par les résidus. Le résidu correspondant à
est un peu "complexe" à calculer, mais on trouve
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 18 Juin 2017, 19:21
Pythales a écrit:Sans utiliser Fubini ni les résidus, une simple intégration par parties montre que l'intégrale est égale à
Ouais, c'est pas faux !
Pythales a écrit:Sinon par les résidus, considérer
que l'on intègre sur le contour 0,infini, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur -infini,0 et enfin sur le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0
Pourquoi considères-tu cette fonction et ce contour ? Pourquoi ne pourrais-t-on pas considérer le même contour mais sans le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0 ? A savoir :
,
, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur
.
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