Intégrale d'une exponentielle

[ArtyB]

Bonjour,
Pouvez vous me donner une piste pour prouver que:
?

[capitaine nuggets]

Salut !

Avant tout as-tu prouvé que cette intégrale converge ?
Il s'agit d'un calcul classique : pose et considère son carré .
Tu as alors :




Effectue alors un changement de variables en coordonnées polaires : et , où et puis utilise la formule de changement de variable (avec la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne) pour montrer que :

.

Tu obtient donc une intégrale que tu sais calculer !
en espérant ne pas avoir fait d'erreurs de calcul, je te laisse poursuivre

[chombier]

C'est l'intégrale de Gauss ça, c'est super ardu à prouver. Tu as quoi comme outils ?

J'ai cherché un peu à une époque, j'ai laissé tomber.

Ca me donne envie de ré-essayer > http://valentin.vinoles.free.fr/documen ... _gauss.pdf

[capitaine nuggets]

Merci pour le partage chombier

Bonjour,
Pouvez vous me donner une piste pour prouver que:
?

D'ailleurs, ton résultat est faux, cette intégrale vaut

[Lostounet]

Sans oublier que l'interversion est licite par Fubini-Tonelli

[capitaine nuggets]

Sans oublier que l'interversion est licite par Fubini-Tonelli

Je laisse les détails à notre ami ArtyB mais cela dépend si il a déjà vu ce théorème, ce qui requiert un peu de théorie de la mesure ? Je ne sais pas si on le voit sans théorie de la mesure. Mais bon là on est dans un cadre bien sympathique où les choses "se passent bien".

[chombier]

Merci pour le partage chombier

De rien. Je ne suis plus bon à rien, je n'arrive pas à prouver que



je suis trop blasé

[Lostounet]

Merci pour le partage chombier

De rien. Je ne suis plus bon à rien, je n'arrive pas à prouver que



je suis trop blasé

x^2 exp(-x^2) tend vers 0 en l'infini donc pour x assez grand, x^2 exp(-x^2) <= 1, c'est-à-dire exp(-x^2)<=x^(-2) pour x assez grand

[chombier]

Pour x assez grand certes, mais là il s'agit de montrer que c'est vrai pour tout x>=1

[capitaine nuggets]

Merci pour le partage chombier

De rien. Je ne suis plus bon à rien, je n'arrive pas à prouver que



je suis trop blasé

Pourquoi dis-tu ça, ça fait longtemps que tu n'as plus fait d'intégrales impropres ?
Autre méthode : pour , donc .

[chombier]

Merci pour le partage chombier

De rien. Je ne suis plus bon à rien, je n'arrive pas à prouver que



je suis trop blasé

Pourquoi dis-tu ça, ça fait longtemps que tu n'as plus fait d'intégrales impropres ?
Autre méthode : pour , donc .

Mais il ne faut pas comparer et , il faut comparer et !

[Pseuda]

Bonsoir,

Aussi : pour tout .
Donc a fortiori pour tout , et pour . Puis on prend les inverses.

[capitaine nuggets]

Avec l'argument que j'ai donné, on a :

.

[Lostounet]

Pour x assez grand certes, mais là il s'agit de montrer que c'est vrai pour tout x>=1

Ben non, on s'en fout que ce soit pour tout x>= 1 !

Il s'agit d'étudier l'intégrabilité au voisinage de l'infini. Donc une majoration à partir d'un certain rang suffit pour cet exercice!

Et puis en 0 il n'y a aucun problème vu que exp(-x^2/2) est continue en 0.

[chombier]

Bonsoir,

Aussi : pour tout .
Donc a fortiori pour tout , et pour . Puis on prend les inverses.

Donc,
.
.
.
.
.
.

Merci ! Il me semble pourtant avoir cherché dans cette direction.
Je dois être fatigué !

[chombier]

Pour x assez grand certes, mais là il s'agit de montrer que c'est vrai pour tout x>=1

Ben non, on s'en fout que ce soit pour tout x>= 1 !

Il s'agit d'étudier l'intégrabilité au voisinage de l'infini. Donc une majoration à partir d'un certain rang suffit pour cet exercice!

Et puis en 0 il n'y a aucun problème vu que exp(-x^2/2) est continue en 0.

Tu as entièrement raison !

Mais j'avais commencé à faire cette fiche : http://valentin.vinoles.free.fr/documen ... _gauss.pdf
J'avais envie de la suivre pas à pas (c'est mon côté borné au voisinage de 0, ça )