Topologie

[kurenay]

Bonsoir,

On considère cette partie de R^2 muni d'une norme usuelle:

A est-elle ouverte ,fermée, compacte , bornée dans ?

Non fermée car (1-1/n,0) A mais pas sa limite (1,0)
Non ouverte car (0,0) A mais pas (1/n,1/n) pour n=1 par exemple.
Non compacte car est un ensemble fini et compact fermée bornée sur un ensemble fini.
Pour bornée, je ne sais pas si c'est immédiat ou s'il y a une démo mais j'aurais dis bornée entre 0 et 1.

Merci

[pascal16]

OK pour non fermé, car il existe une suite d'éléments de A convergente dans R² mais pas dans A.

Non ouverte car (0,0) A mais pas (1/n,1/n) pour n=1 par exemple
a mon avis, l'explication n'est pas bonne, en repartant de ton idée :
(-1/(2n),-1/(2n)) est inclus dans la boule de centre O et de rayon 1/n, or tout voisinage de O contient un boule ouverte de centre O et de rayon 1/n (n imposé par le choix du voisinage), on a que (-1/(2n),-1/(2n)) ne fait pas parti de A, donc A n'est pas voisinage de O, donc pas ouvert.

avec la norme classique, entre (1;0) et (0;1), il y a
C'est aussi la BS dans ton ensemble, donc pour moi, c'est

[kurenay]

http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathspe/methodes/topoevn.html J'ai utilisé la méthode qu'il y a sur ce site dans la sous partie " démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert"

[max0606]

Pour une démo de A bornée

On prend la norme N1 de R^2 ( toutes les normes sont equivalentes en dimension finie ) c'est à dire si z = (x,y) alors

N1(z) = |x| + |y|

Pour tout z dans A :

N1(z) = |x| + |y| = x+y < 1 ( car x et y sont positifs )

Ainsi il existe M > 0 tel que pour tout z dans A N1(z) < M ( M = 1 par ex )

Par définition A est une partie bornée

[kurenay]

Merci pour la démo

[kurenay]

J'ai une autre question, pour le complémentaire de A, on change juste x+y<1 en x+y 1 c'est bien ça ?

[capitaine nuggets]

Salut !

En notant , et , on a . Donc le complémentaire de dans est :



Après ce qui peut peut-être te perturber, c'est l’absence de conjonction entre les conditions dans , il faut lire :

[kurenay]

D'après le cours on sait que si non fermé alors non ouvert. Comment montrer que
n'est pas fermé avec les suites ? Je n'en trouve aucune

[capitaine nuggets]

C'est un peu comme pour A : il faut exploiter le fait que certains "bords" du triangle , défini comme étant la frontière de , ne sont pas inclus dans (pense à faire un dessin )

ne contient pas les bords et donc il te suffit de considérer par exemple une suite d'éléments de qui converge dans ou .

Ca se trouve facilement à coups de "" comme tu as pu le faire

[kurenay]

Ah ok , je peux dire que (0,-1/n) mais pas (0,0) donc non fermé.

[kurenay]

J'ai une dernière question, si on me demande de calculer l’adhérence de A.
J'en déduis que .
Je sais que pour le prouver , il faudra montrer que tous les points sont dans et que c'est un ensemble fermé.
C'est fermé parce que c'est la réunion de ,qui est fermé, et de l'image réciproque du fermé par l'application continue f(x,y) = x+y. Mais j'ai du mal pour la première partie.

[capitaine nuggets]

Salut !

Tu ne peux pas écrire , tu dois montrer que ce "quelque chose" est effectivement .
Nomme l'ensemble que tu penses être effectivement .
Pour montrer que , tu peux montrer que quel que soit le point : pour tout , .

Sachant que de façon générale, , tu as ici , donc tu n'as besoin de montrer ce que j'ai dit plus haut :

quel que soit le point : pour tout , .

que pour .