Bonjour !
La réponse précédente ajoute l'hypothèse "diagonalisable". Si on ne l'a pas la dimension que tu cherches est comprise entre
et
.
Pourquoi ?
Si tu as une combinaison linéaire nulle donnant
le plus petit possible, la dimension est bien
et tu as aussi un polynôme annulateur
de degré
.
Inversement, si
est polynôme annulateur de degré le plus petit possible (on dit, à coefficient près, que c'est le polynôme minimal) tu as
combinaison linéaire des autres puissances et il est facile de voir que la dimension est
.
Par ailleurs, si
est polynôme annulateur il est facile de voir que toute valeur propre de
est une racine de
.
Avec ton hypothèse de
valeurs propres distinctes
le polynôme
est donc divisible par
.
Ce polynôme
est-il annulateur ?
S'il l'était tu aurais une condition suffisante de diagonalisation. Inversement, si
est diagonalisable,
est polynôme annulateur de degré minimal et la dimension est bien
.
Sinon la dimension que tu cherches est comprise entre
et
.
Exemples :
. Alors
la matrice est diagonale et la dimension cherchée est
. Alors
, ce n'est pas un polynôme annulateur, la matrice n'est pas diagonalisable et la dimension cherchée est
.
Avec des exemples pour
tu peux montrer que la dimension peut-être