L'ensemble des fonctions continues est complet

[nemid]

bonjour,

je dois démontrer que l'ensemble des fonctions continues sur un compact a valeurs dans un complet (muni de la norme uniforme) est complet

soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] muni de la norme uniforme
comment montrer que Fn est de Cauchy pour la norme de E?

merci de me répondre

[nemid]

aidez moi svp !!!!
:'( :'(

[Lostounet]

bonjour,

je dois démontrer que l'ensemble des fonctions continues sur un compact a valeurs dans un complet (muni de la norme uniforme) est complet

soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] muni de la norme uniforme
comment montrer que Fn est de Cauchy pour la norme de E?

merci de me répondre

Sais-tu montrer le résultat sur le compact K = [0 ; 1] pour des fonctions continues sur [0;1] à valeurs dans R qui est complet pour |. | ?

[nemid]

oui je sais le faire , en comparant la norme |.| et sup |.| ; mais vu qu'on ignore la norme de E alors aucune idée ;

je sais pas si je pourrai prendre G une application continue sur E .
Soit Gn une suite de E tq : Gn= G(Fn)
et par definition de la contuinité de Gn on trouve que fn est de Cauchy sur E

[zygomatique]

salut

soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] (muni de la norme uniforme)
j'arrive pas a montrer que Fn est de Cauchy dans E (pour la norme E) ??

ça me semble contradictoire !!

ça veut dire quoi que est une suite de Cauchy de (C(K, E), N) (N = norme uniforme)

[nemid]

salut

soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] (muni de la norme uniforme)
j'arrive pas a montrer que Fn est de Cauchy dans E (pour la norme E) ??

ça me semble contradictoire !!

merci de m'avoir répondu

je pense que ça veut dire que : a partir d'un certain rang les termes de la suite sont proche les uns des autres . et puisque on a la norme uniforme donc ses termes sont uniformément proche des un des autres a partir d'un certain rang ??

[Lostounet]

Il me semble qu'il y a un flou dans l'énoncé. Peux-tu dire que sont K, et E?

De plus on définit la norme uniforme d'une fonction f à valeurs dans un corps R ou C, prise sur une partie X de R ou de C par .

Je ne comprends donc pas c'est quoi la définition de la norme uniforme d'une fonction "à valeur dans un ensemble E complet quelconque" . De quelle norme est muni E? L'énoncé me semble incomplet... ne faut-il alors pas supposer des choses sur l'espace métrique E qui doit être totalement ordonné ou hypothèse plus forte?...

Recopie l'énoncé tel quel stp.

[nemid]

Il me semble qu'il y a un flou dans l'énoncé. Peux-tu dire que sont K, et E?

De plus on définit la norme uniforme d'une fonction f à valeurs dans un corps R ou C, prise sur une partie X de R ou de C par .

Je ne comprends donc pas c'est quoi la définition de la norme uniforme d'une fonction "à valeur dans un ensemble E complet quelconque" . De quelle norme est muni E? L'énoncé me semble incomplet... ne faut-il alors pas supposer des choses sur l'espace métrique E qui doit être totalement ordonné ou hypothèse plus forte?...

Recopie l'énoncé tel quel stp.

l'énoncé: donner le preuve de :
L'espace des fonctions continues définies sur un compact à valeurs dans un complet (muni de la norme uniforme ) est complet .
dnc on veut montrer que : C([K,E]) muni de la norme uniforme est complet
avec K compact et E complet (pour sa norme ).

[Matt_01]

Il est facile de voir que la suite, à x fixé, (fn(x)) est convergente (car elle est de Cauchy).
Donc fn converge simplement vers une fonction f.
Mais tu peux écrire que d(fn,fm) < eps à partir d'un certain k (pour n,m>k)
Tu justifies qu'alors d(fn,f)<eps et donc (fn) converge uniformément vers f, et que donc f est continue.