Exo

[Obito31]

Bonjour

Voilà je sèche sur un exo..
Soit E un espace euclidien de dimension 2 et B une base orthonormé. En utilisant l'inégalité de cauchy schwarz, montré que si u,v appartiene à E alors
DetB(u,v) inférieur ou égal au produit des normes des 2 vecteur..

[jlb]

Salut applique Cauchy Schwartz avec u=(u1;u2) et v'=(v2;-v1) où u=(u1;u2) et v=(v1;v2) appartiennent à E et sont exprimés dans B.

[Obito31]

Ah mais oui bien vue !!! Je te remercie

[Pythales]

Revient à dire que

[zygomatique]

salut

det est une forme bilinéaire alternée

si B = (i, j)

u = ai + bj
v = ci + dj

det (u, v) = det(ai + bj, ci + dj) = ... = ad det (i, j) + bc det (j, i) = ad - bc = (ai + bj).(ci - dj) =< ||u|| ||v||

...

[Obito31]

Merci pour vos réponses
J'aurai des question sur le déterminant.. je sait que c'est une forme bilineaire alterné sur un espace vectoriel E ( dans le cas de 2 vecteurs ) et l'alternance implique l'anti-symetrie, donc c'est une application qui nous dit si une famille de vecteur est libre ou lié
Mais pourquoi l'application dans une base est égal à 1 ? Est ce dans toute les base ou est ce juste dans les base orthonormé ?
Pour le produit scalaire ,le produit de 2 vecteur orthogonal est égal à 0 c'est une définition, est ce pareil pour le déterminant ?
Et aussi un petit mot sur le faite que ce soit la seul forme forme n-alterné

C'est brouillon mais j'aimerai bien que quelqu'un mexplique bien ce qu'est que le déterminant
Merci

[Ben314]

Salut,

Revient à dire que

C'est quoi le symbole ^ en dimension 2 ?

J'aurai des question sur le déterminant.. je sait que c'est une forme bilineaire alterné sur un espace vectoriel E ( dans le cas de 2 vecteurs ) et l'alternance implique l'anti-symetrie, donc c'est une application qui nous dit si une famille de vecteur est libre ou lié (?)
Mais pourquoi l'application dans une base est égal à 1 ? Est ce dans toute les base ou est ce juste dans les base orthonormé ?
Pour le produit scalaire ,le produit de 2 vecteur orthogonal est égal à 0 c'est une définition, est ce pareil pour le déterminant ?
Et aussi un petit mot sur le faite que ce soit la seul forme forme n-alterné

Tu mélange un peu tout et surtout tu as très très mal compris le point de vue théorique :
1) Sur un espace vectoriel E de dimension finie, des formes n-linéaires (*) alternées, il n'y en a surement pas une seule comme tu semble le penser vu que si la fonction f en est une alors quelque soit le scalaire lambda, la fonction lambda.f en est aussi une (et en particulier l'application nulle qui à tout n-uplet de vecteurs associe 0 est une forme n-linéaire alterné).
2) Donc LE résultat, c'est que, à un facteur multiplicatif prés, il existe une unique forme n-linéaire alternée et en fait, dans la preuve, ce qu'on montre c'est qu'étant donné une base donnée B, il existe une unique forme n-linéaire alternée f telle que f(B)=1.
3) Par contre, si tu prend une autre base B' et que tu considère l'une unique forme n-linéaire alternée f' telle que f'(B')=1 alors il n'y a aucune raison que f'=f, mais on sait qu'il existe une constante lambda (non nulle) telle que f'=lambda.f (le lambda en question étant en fait le déterminant de la matrice de changement de base de B à B')
Bref, le déterminant d'une base n'est pas forcément égal à 1 et, en général, pour pouvoir parler de déterminant d'une famille de vecteurs, il faut absolument préciser dans quelle base on se place (i.e. quelle est la base dans laquelle le déterminant vaut 1 par définition).
4) Par exemple, si l'espace de départ est R^n alors on peut parler sans trop préciser du déterminant d'une famille de vecteur vu qu'il est sous entendu qu'on travaille dans la base canonique de R^n (i.e. que le determinant de cette base fait 1 par définition)
5) Sinon, concernant les base orthonormées, c'est très très faux de penser que le déterminant vaut 1.
- Déjà, ça dépend de "quel" déterminant on parle : pour que ça ait des chance d'être vrai, il faut que ce soit un déterminant qui vaut 1 (par définition) dans une base orthonormée fixée B.
- Ensuite, même si c'est le cas, le déterminant d'une autre base orthonormée B'ne sera pas forcément égal à 1, mais à +1 ou -1 selon que les bases B et B' ont la même orientation ou pas : par exemple dans R2, si (e1,e2) est la base canonique (orthonormée) alors det(e1,e2)=1, mais det(e2,e1)=-1 et (e2,e1) est bien une base orthonormée.

(*) bilinéaire si E est de dimension 2, trilinéaires en dimension 3, etc...