salut
il est toujours difficile effectivement de définir rigoureusement la notion d'ensemble simplement :
c'est une collection de ... (objets)
c'est une liste de ... (objets)
mais un objet est-il un ensemble ? un ensemble peut-il être un objet ?
N est l'ensemble des nombres ... mais les nombres sont aussi des ensembles puisque ce sont les classes d'équivalence pour les ensembles ... qui ont même nombre d'objets !!!
ainsi 2 est la classe d'équivalence des ensembles qui ont deux éléments : que ce soit deux fourchettes ou deux yeux, ou deux protons ou P({2}) (ensemble des parties de l'ensemble singleton {2}
pour en revenir à l'ensemble C:
tout d'abord C comme N, ou Z n'est que le nom d'un objet
ensuite une fois défini :
le produit cartésien de deux ensembles E et F noté E x F comme l'ensemble des couples (e, f) avec e dans E et f dans F (définition précise et rigoureuse)
et
la notion de structure sur un ensemble : loi interne qui en fait un groupe, anneau corps ...
alors C n'est rien d'autre que le produit cartésien de R par lui-même muni des deux opérations suivantes :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
qui en font un corps
et à nouveau i n'est rien d'autre que le couple (0, 1) (donc i n'est rien d'autre que le nom du couple (0, 1)
et au final on note a + ib le couple (a, b) et R n'est rien d'autre que le sous-ensemble de C des couples (a, 0)
et on vérifie qu'avec ces notations tout roule ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE